高校数学の問題を教えてください

(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)(x＋9)(x＋11)(x＋13)(x＋15)を展開して得られる多項式について、x6乗の項の係数を求めよ
この問題の求め方を教えてください

No.1 回答者： 難燃性燐寸 回答日時： 2020/07/19 14:14

先ほどはどうも

これも考え方は同じで
1,3,5,7,9,11,13,15から2個ずつの組をすべて取り出す
その取り出した組み合わせについての積を合計すればOKです

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/07/19 14:15

ｘ⁸の係数は1　これすぐわかるね。

ｘ⁷の係数は　1,3,5,7,9,11,13,15　を足したもの。　これも少し考えればわかるね。
ｘ⁶の係数は　1,3,5,7,9,11,13,15　すべての2個選ぶ組み合わせを掛け合わせた和。
e.g. 1x3+1x5+1x7+1x9+1x11+1x13+1x15+3x5+3x7+・・・+13ｘ15
・・・
ｘ¹の係数は　1,3,5,7,9,11,13,15　すべての7個選ぶ組み合わせを掛け合わせた和。
そして、ｘ⁰の係数は1,3,5,7,9,11,13,15　すべての7個選ぶ組み合わせを掛け合わせた和＝1,3,5,7,9,11,13,15の積。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/07/19 14:15

最後8個選ぶだ、すみません。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/19 14:30

1x3+1x5+1x7+・・・1x15+3x5+・・・3x15+・・・13x15

=1x(3+5+7+・・・+15)+3x(5+7+9+・・・15)+5x(7+9+・・・)+・・・+13x15
=1x(カッコ内の平均値:9)x7+3x(カッコ内の平均値:10)x6
+5x(カッコ内の平均値:11)x5
+7x(カッコ内の平均値:12)x4
+9x(カッコ内の平均値:13)x3
+11x(カッコ内の平均値:14)x2
+13x15
=63+180+275+336+351+308+195
=1708

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/19 14:39

1、3、・・・15のうち2個選んで積をとるというのを全ての組み合わせでやって和をとる。

つまり
1x3+1x5+1x7+1x9+1x11+1x13+1x15=1x7x9=63
+3x5+3x7+3x9+3x11+3x13+3x15=3x6x10=180
+5x7+5x9+5x11+5x13+5x15=5x5x11=275
+7x9+7x11+7x13+7x15=7x4x12=336
+9x11+9x13+9x15=9x3x13=351
+11x13+11x15=11x2x14=308
+13x15=195
を全部足す。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/19 15:41

(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)(x＋9)(x＋11)(x＋13)(x＋15)

= (x＋1)(x＋15)・(x＋3)(x＋13)・(x＋5)(x＋11)・(x＋7)(x＋9)
= { x²+16x+15 }{ x²+16x+39 }{ x²+16x+55 }{ x²+16x+63 }
= (x²+16x)⁴ + 172(x²+16x)³ + 10422(x²+16x)² + 256140(x²+16x) + 2027025.

(x²+16x)⁴ =(x⁴)(x+16)⁴ の x⁶ 項は、(x+16)⁴ の x² 項の x⁴ 倍で (x⁴)(4C2)(x²)(16⁴) = 1536x⁶.
172(x²+16x)³ = 172(x³)(x+16)³ の x⁶ 項は、(x+16)³ の x³ 項の 172x³ 倍で (x³)(3C3)(x³)(1⁰) = 172x⁶.
10422(x²+16x)² + 256140(x²+16x) + 2027025 は x の 4 次式なので、x⁶ 項は無い。
以上より、
(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)(x＋9)(x＋11)(x＋13)(x＋15) の x⁶ 項は、1536x⁶ + 172x⁶ = 1708x⁶.

答えは、1708.

No.7 回答者： MayTyu 回答日時： 2020/07/21 23:33

僕もＮｏ.5さんみたいにやりますね。

1x3+1x5+1x7+1x9+1x11+1x13+1x15=1x7x9=63
3x5+3x7+3x9+3x11+3x13+3x15=3x6x10=180
5x7+5x9+5x11+5x13+5x15=5x5x11=275
7x9+7x11+7x13+7x15=7x4x12=336
9x11+9x13+9x15=9x3x13=351
11x13+11x15=11x2x14=308
13x15=195
63+180+275+336+351+308+195=1708

どうでもいいですけど、グラフがこんなのになります。