毛細管流量計を使って流体粘度を測定する実験をしました。
ニュートン流体が直径Dの円管内を管内平均流速vで流れる時、
層流における壁面せん断応力τwとせん断速度8v/Dの関係は
τw=μ(8v/D)・・・(1)
μはその温度における流体の粘度だそうです。
また、流出した体積をV0、流出時間をtとすると、
V0=(πD^2/4)vtであるから、管内平均流速vは
v=4V0/πD^2tで求められる。すると
τw=(ρgD/4L){Hi-(θv^2)/(2g)}・・・(2)
ρ:流体密度、g:重力加速度、L:毛細管長さ
Hi:水槽水位、θ:補正係数(=2.8)
このように、τwを表す2つの式がさも当然のように書かれています。
が、教科書を見ても載っていない式であり、
θのような聞いた事も無いような値まで入っていて、
どのように導出すれば出てくるのか判りません。
2つの式の導出方法を教えて下さい。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
後半の質問に回答します。
ベルヌーイの定理を使います。
水槽の水面と毛細管出口でベルヌーイの式をたてて、、
ρgHi=Δp+θ*ρv^2/2 (1)
ところで、
Δp=4τL/D (2)
ですから、
(1)(2)よりΔpを消去し、整理すれば
ご質問の式が出てきます。
No.1
- 回答日時:
前半の質問に答えます。
円筒の半径をr,長さをLとし、円筒の両端にかかる圧力をp,p-Δpとすれば、
円筒の断面にかかる力は
pπrw^2-(p-Δp) (1)
また円筒の側面にかかるせん断応力は
τ*2πrwL (2)
(1)(2)が等しいので等値して整理すると
τ=Δpr/2L (3)
r=D/2より
Δp=4τL/D (4)
また、
τ=-μdU/dr (5)
(3)(5)より
-μdU/dr=Δpr/2L (6)
これを解いて
U=-Δpr^2/4μL+C(積分定数) (7)
管壁で速度がゼロであることから、r=rwでU=0を代入して
積分定数を求め、整理すると
U=Δp(rw^2-r^2)/4μL (8)
(8)をr=0からr=rwまで積分して体積流量Qを求めると
Q=Δpπrw^4/8μL (9)
管内の平均流速Vを求めると
V=Q/πrw^2=Δprw^2/8μL (10)
rw=D/2より
V=Q/πrw^2=ΔpD^2/32μL (11)
(4)(11)よりΔpを消去して
τ=8μV/D
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