ユークリッド平面

解答が合ってますでしょうか？
また、もう少しスムーズに解答する方法はあるのでしょうか？
宜しくお願いします。

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Clは閉包、bは境界のことです。

「ユークリッド平面R2の部分集合族{An:n∈N}ただし、
An={1/n}×Rについて、次の問いに答えよ。
(1)　Cl(∪{An:n∈N}を求めよ。
(2)　b(∪{An:n∈N})を求めよ。」

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ユークリッド平面にx,y座標を導入して、An={(x,y)：x=1/n,n∈N,y∈R}、Nは正整数、Rは実数、次のように書く。また、A=∪{An:n∈N}とする。
以下で、(x,y)は適当な点aの座標であり、xの値で場合分けして議論する。

(1) Aの閉包は、その任意の近傍がAと共有点を持つ点の全体。(2)では任意の近傍がそのようであること、(3)(4)(5)ではそうでない近傍が少なくとも一つ存在することを示す。

(1)x=1/nとなる（即ちa∈Anとなる）n∈Nが存在する場合、aはAの元なので当然Cl(A)に含まれる。
(2)x=0の場合、aの任意の近傍U(a)についてV(a;ε)⊂U(a)となるV(a;ε)が存在する。
　更に1/m<εとなるm∈Nが存在し、U(a)∩Am≠φ、即ちU(a)∩A≠φ。∴a∈Cl(A)となる。
(3)x<0の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|x/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈Cl(A)でない。
(4)x>1の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|(x-1)/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈Cl(A)でない。
(5)1/(n+1)<x<1/nとなるなるn∈Nがある場合、aの近傍V(a;ε),ε=min{|1/n-x|,|x-1/(n+1)|}/2を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈Cl(A)でない。
以上より、a∈Cl(A)となるのは(1)(2)だけなので、Cl(A)={(x,y)：x=1/n,n∈N,y∈R}∪{(x,y)：x=0,y∈R}=A∪{(0,y)：y∈R}。

(2) Aの境界とは、その任意の近傍がAともAの補集合とも共有点を持つ点の全体。(1)(2)では任意の近傍がそのようであること、(3)(4)(5)ではAと共有点を持たない近傍が少なくとも一つ存在することを示す。



(1)x=1/nとなるn∈Nが存在する場合、aの任意の近傍U(a)についてV(a;ε)⊂U(a)となるV(a;ε)が存在する。
　更に点P=(x-h,y),h=min{ε/2,(1/(n+1)-1/n)/2}とすると点PはAに含まれず、U(a)はA外の点Pを持つ。
　a自身はAに含まれるので、aはAの境界点。
(2)x=0の場合、aの任意の近傍U(a)についてV(a;ε)⊂U(a)となるV(a;ε)が存在する。
　このとき1/m<ε,m∈Nが存在し、U(a)∩Am≠φ、即ちU(a)∩A≠φ。a自身はAの補集合の元なので、aはAの境界点。
(3)x<0の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|x/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈b(A)でない。
(4)x>1の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|(x-1)/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈b(A)でない。
(5)1/(n+1)<x<1/nとなるなるn∈Nがある場合、aの近傍V(a;ε),ε=min{|1/n-x|,|x-1/(n+1)|}/2を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈b(A)でない。
以上より、a∈b(A)となるのは(1)(2)だけなので、b(A)={(x,y)：x=1/n,n∈N,y∈R}∪{(x,y)：x=0,y∈R}=A∪{(0,y)：y∈R}。

No.1 ベストアンサー 回答者： gururinbus 回答日時： 2008/03/12 02:47

合っていると思います。

スムーズに解答したいのなら、例えば次の事実が知られているので、それを使います。

X,Y⊂Rとすると、
Cl(X×Y)=Cl(X)×Cl(Y)
Int(X×Y)=Int(X)×Int(Y)
が成立。(ただし、Intは内部を表わす。)

Cl(X)=Int(X)∪b(X)が成立

以下、簡単にAの閉包,境界を求めます。

まず、Int(A)が空であることを示す。
これができれば、Cl(A)=b(A)となり、片方求めれば、十分です。
Int(A)=Int({1,1/2,1/3,…})×Int(R)で、
{1,1/2,1/3,…}は可算集合だから、この内部は空。
(∵Rにおける近傍は開区間と考えられ、開区間は連続濃度を持つので、
{1,1/2,1/3,…}が内点をもつと仮定した瞬間、連続濃度を持つことになり矛盾)
したがって、Aの内部は空。
次にCl(A)を求める。
Cl(A)=Cl({1,1/2,1/3,…})×Cl(R)=Cl({1,1/2,1/3,…})×R
だから、Cl({1,1/2,1/3,…})={1,1/2,1/3,…,0}を示せばOK。

(⊃)については明らか。(∵0は点列{1/n}の極限だから)
(⊂)について、Cl({1,1/2,1/3,…})の元が1,1/2,1/3,…,0のいずれでもないとすると、
矛盾する。(矛盾を出す議論はtukimidaiさんと同様)


あまりスムーズでもないですね。
結局キモになる部分のCl({1,1/2,1/3,…})={1,1/2,1/3,…,0}を言うためには、メンドーなギロンが必要そうです。
Cl({1,1/2,1/3,…})={1,1/2,1/3,…,0}も認めちゃえば、スゴイ簡単に解答が作れそうですけどね(笑)

この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございました！！

お礼日時：2008/03/13 06:18