４次元とは

４次元というとき２種類あると考えます。
(1)　ユークリッド４次元
(2)　時空４次元

(1)においては４つのベクトルは独立です。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０なら
ｘ＝ｙ＝ｚ＝u＝０です。
(2)においては
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－ｃｔ＾２＝０でも
ｘ＝ｙ＝ｚ＝ｃｔ＝０になりません。

これについて説明できる方はいらっしゃるでしょうか。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/06/13 22:55

>(1)においては４つのベクトルは独立です。

>ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０なら
>ｘ＝ｙ＝ｚ＝u＝０です。

x^2+y^2+z^2-u^2=0
なら？

この回答への補足

ｘ、ｙ、ｚ、ｕが実数であれば、独立の概念と関係なく
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０なら
必ずｘ＝ｙ＝ｚ＝u＝０です。

ｘ、ｙ、ｚ、ｕが複素数まで許してしまえば、
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０なら
ｘ＝ｙ＝ｚ＝u＝０が１次独立の条件でしょう。

＞x^2+y^2+z^2-u^2=0なら？
u=ui（iは虚数）と置き換えて、
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０と書き直して考えます。
一次独立ならｘ＝ｙ＝ｚ＝ｕ＝０でしょう。
でもミンコフスキー４次元では０にならない。

補足日時：2008/06/13 23:48

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/13 23:03

>４次元というとき２種類あると考えます。

その２種類を説明してから質問して欲しい。少なくとも

>(1)においては４つのベクトルは独立です。
と
>ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０なら
>ｘ＝ｙ＝ｚ＝u＝０です。
はまるで無関係ですよね。

この回答への補足

１次独立の説明が悪かったようです。

(1)においては４つのベクトルは独立です。
ax+by+cｚ+du＝０なら
a=b=c=ｄ=0となります。

(2)においては
ax+by+cｚ+du＝０でも
a=b=c=ｄ=0となりませんよね。

補足日時：2008/06/13 23:14

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/06/13 23:35

すでに指摘されているようにめちゃくちゃですな．

「二次形式」とか
「計量ベクトル空間」とかを勉強しなおすのが
一番早道か．

とりあえず，Wikipediaで「ミンコフスキー空間」の項目を
読んでみること．

この回答への補足

ミンコフスキー空間の方は、
『４つの軸が本当に独立と言えるかどうか疑問である』が主旨です。

説明が悪く誤解を招きました。
ｘ方向、ｙ方向、ｚ方向に動いてから４番目の方向に動いて原点にもどってしまったら、これを即ち従属というのではないのでしょうか。

補足日時：2008/06/14 00:08

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/14 00:24

>１次独立の説明が悪かったようです。

そうではありません。一次独立はよく知られた概念なので説明不要です。

>(1)　ユークリッド４次元
>(2)　時空４次元
が何かを補足して下さい。

例)
(1)とは R を実数体として R^4 に R-ベクトル空間と距離空間の構造を入れたもの

この回答への補足

＞一次独立はよく知られた概念なので説明不要です。

(1)　ユークリッド４次元
１次独立が距離で定義されている４次元。
(2)　時空４次元
１次独立が距離で定義できない４次元。

補足日時：2008/06/14 18:54

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/06/14 07:42

>(1)　ユークリッド４次元

>....
>においては４つのベクトルは独立です。
>ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０なら　>ｘ＝ｙ＝ｚ＝u＝０です。

当方、弱脳なので混乱してます。まずは、記法の定義してください。

・x, y, z, u はそれぞれ「ユークリッド４次元ベクトル」？
・ x^2 ってベクトル x の「内積」？
　

この回答への補足

＞x, y, z, u はそれぞれ「ユークリッド４次元ベクトル」？
＞x^2 ってベクトル x の「内積」？

そうです。

補足日時：2008/06/14 19:02

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/06/14 09:20

やっぱり分かってないんだな

計量とか以前にベクトル空間の理解も必要か

ミンコフスキー空間ってのは
「四次元のベクトル空間に「計量」を導入した」空間であって
一次独立ってのは「計量とは無関係」．

二つのベクトルの「内積」ってのは，
<x,x>=0 <=> x=0
つまり，自分同士を内積とって0になったら，
それは0でしかないという条件を満たす二次形式の一種のことであり，
これが「二乗和をとって0だったら，もともと0でしかない」
ということ．

一方のミンコフスキの方はそんな性質はないというだけ．
いわゆる「時間軸」の符号がマイナスだって話．
決して空間の次元には関係ない．

＞ｘ方向、ｙ方向、ｚ方向に動いてから４番目の方向に動いて原点にもどってしまったら、これを即ち従属というのではないのでしょうか。
これはその通りだが，
「原点に戻ってきたら」って何？
四次元だったら戻ってこれるはずがない．
繰り返すが，ミンコフスキ式の「内積」を
自分自身ととって0になったからといって
もともと0だなんてことはない．
ミンコフスキ式内積によるノルム＝0だからといって
それが原点だなんてことはない．
＃ミンコフスキ式なら「正規直交基底」には
＃「長さが負」のベクトルがある．

この回答への補足

＞ミンコフスキ式内積によるノルム＝0だからといって、それが原点だなんてことはない．

ノルム＝０でも原点ではありませんでした。m(oo)m
２次元で考えます。ＸとＹが独立なら
X^2+Y^2=0　は成立しません。
符号は＋にします。
時間と空間を分けたのは自然界の理由でありません。
人間が計算上の都合で分けたと考えます。
X=ｒ×e^（iθ）、Y=ｒ×ｅ＾（ｉθ＋π）
となり、θという内部次元のようなものが存在して、
本当は独立ではないＸ，Ｙが独立であるように見えているのかもしれません。
この場合X,Yは外部２次元でθは内部次元です。

補足日時：2008/06/14 22:30

No.7 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/14 21:28

よっしゃ。

どんどん行ってみよう。
>(1)　ユークリッド４次元
>１次独立が距離で定義されている４次元。
>(2)　時空４次元
>１次独立が距離で定義できない４次元。

「１次独立が距離で定義される」とはどのような定義か補足にどうぞ。

ついでに「１次独立が定義できない」場合に、どうやって次元を「4次元」とカウントしているのかも補足にどうぞ。

この回答への補足

ややこしいので２次元に落とします。
＞「１次独立が距離で定義される」とはどのような定義か
２個のベクトル a１とａ2の線形結合が 0（この0は距離）となる式，
c1a1 + c2a2 = 0　において
C1=C2=0以外に解が存在しないとき。

＞「１次独立が定義できない」場合に、どうやって次元を「4次元」とカウントしているのか。
c1a1 + c2a2 = 0　において
C1=C2=0以外に解が存在している。
しかしながら、C1とC2の間に法則があるため、ａ１もａ２ともに必要とされる必然がある。

補足日時：2008/06/14 21:44

No.8 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/14 23:06

マダマダ。

>２個のベクトル a１とａ2の線形結合が 0（この0は距離）となる式，
あなたの言う「距離」とはどのような概念なのでしょうか？
線形結合 = 0 で右辺が「距離」ということは当然左辺の c1a1 + c2a2 も「距離」なんですよね？

>しかしながら、C1とC2の間に法則があるため、ａ１もａ２ともに必要とされる必然がある。
「法則がある」とは具体的にはどのような状態を指しているのですか？
そして「ａ１もａ２ともに必要とされる」とは？

>c1a1 + c2a2 = 0　において
>C1=C2=0以外に解が存在している。
というのは例えば
a1 + a2 = 0
のような式が成立するということですよね。
であれば a2 = -a1 なんですから、もはや a2 は不要( -a1 がすべてをカバーする)のではないですか？

この回答への補足

＞当然左辺の c1a1 + c2a2 も「距離」なんですよね？
（C1、C2）というベクトルを考えれば、
c1a1 + c2a2は内積となって距離の２乗になります。

＞「法則がある」とは具体的にはどのような状態
もう一個次元があって、ｃ１もｃ２もその影響を受けている場合。
見えてない次元の可能性は＃６さんへの回答に書きました。

補足日時：2008/06/14 23:11

No.9 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/15 00:30

>（C1、C2）というベクトルを考えれば、

>c1a1 + c2a2は内積となって距離の２乗になります。
いいえ。a1 、a2 は「ベクトル」ですから上記線形結合は内積にはなりません。

まずは「スカラ値」と「ベクトル値」を区別する必要があるようですね。

>＞「法則がある」とは具体的にはどのような状態
>もう一個次元があって、ｃ１もｃ２もその影響を受けている場合。
>見えてない次元の可能性は＃６さんへの回答に書きました。
ANo.6 氏への補足もよく意味がとれませんが、
私への補足
>c1a1 + c2a2 = 0　において
>C1=C2=0以外に解が存在している。
>しかしながら、C1とC2の間に法則があるため、ａ１もａ２ともに必要とされる必然がある。
は

a1 a2 が「一次従属」であるにも関わらず、「両者が必要とされる」という意味ですよね。

ここに第三のベクトル θ が出現したとして、「a1 と θ が必要であった」としか結論づけられそうもありませんが。
「a1 と a2 は『実は独立であった』」と結論が化けるプロセスがわかりません。

この回答への補足

c1a1 + c2a2はベクトルでした。絶対値記号を使って
｜c1a1 + c2a2｜＝０と説明すべきでした。両辺は距離。
ユークリッド空間においては、a1とa2が独立であれば解は
ｃ１＝ｃ２＝０ですよね。

θ は第三のベクトルではありません。
スカラーの変数です。角度です。
ベクトル記述では一次従属でも２つ必要という意味です。
koko_u_さんへの回答をまとめると、
「ミンコフスキー空間は、１次独立でないのでスカラー内部次元が生じているけど、ベクトル記述の次元は４つである。」

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
ここから先は本題を離れて批判を気にせず自由に書きます。
趣味の世界です。批判は読みたくもないです。
ミンコフスキー空間は
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｕ＾２＝０
と一般的に記述されるべきです。
なぜ時間だけ特別視するのでしょうか。
（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｕ＾２＝０
と記述すると（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）で作る軸とｕ軸の２本があり、２本の間の角度は１個です。
（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）＋（ｚ＾２）＋（ｕ＾２）＝０
と記述すると軸は４本なので４Ｃ２＝６個の角度が必要です。
最初の１個の角度と６個の角度は同一でありません。
対称性が異なるからです。
４つのベクトルと６つの角度を持つのは電子で１０次元です。
電子と空間を同時に記述すると４＋６＋１＝１１次元です。
ニュートリノは１６個持ちます。
計算式は４×（４＋１－ｍ）／ｍです。
字数の関係で証明を書ききれなくて、本当にとても残念です。
全角で２０００字の制限があります。
ｍ＝４が空間、ｍ＝２が電子、ｍ＝１がニュートリノ
電子とニュートリノで４＋６＋１６＝２６次元
空間と電子とニュートリノで４＋６＋１６＝２７次元
ｍ＝３はクォークと考えますが、８／３と分数次元になります。
電子については下記に具体的根拠を述べています。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4068667.html

補足日時：2008/06/15 02:34

この回答へのお礼

真面目な回答ありがとうございました。
下記表現は変でした。

誤：「ミンコフスキー空間は、１次独立でないのでスカラー内部次元が生じているけど、ベクトル記述の次元は４つである。」

正しい表現が今、思い浮かびません。
スカラーの５次元目はカルツアという人物が言い出しました。
この５次元目は他の４次元とは異なっています。
詳しくないのでここで止めます。

お礼日時：2008/06/15 15:40

No.10 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/06/15 10:34

いやあ，なんかすごいことになってますねえ

まず，ベクトル空間の元である「ベクトル」と
スカラーがごっちゃになってる．

「一次独立」という言葉が独自のもの？

それから記法がごっちゃになってる．

距離と内積がごっちゃになってるのに加えて，
「普通の意味の内積」と「ミンコフスキ式の内積」がごっちゃになってる
（正定値対称な二次形式と非正定値な二次形式を混同？
それとも固有値に非負のものがあるか否かを考えてない？）

二次元数ベクトルの複素数表示と複素数表示の極座標表示が混同？
（極座標表示は(a,b)<->(r,θ)という対応だけども
線型ではないから単純に線型代数的に考えると厄介）

あとは，これが一番厄介だけども
数学への考え方がまるで違うというか・・・誤解しまくり？
数学は「定義」と「論理の展開」がすべて．
ミンコフスキさん達が
「俺たちは四次元ベクトル空間で「時間軸」だけ
特別扱いした二次形式を考えるんだ！」
といったなら，それが数学的に破綻してない限りＯＫなんです．
そのモデルが他のもの，まあ特殊相対論ですか，を
うまく記述してるかどうかはぶっちゃけ数学ではない．

「ミンコフスキのモデルは納得いかん！」っていうなら
どうぞご自由に別のモデルを立てて構いません，というだけの話．
もちろん数学的に破綻してないかは数学のお話です．
また，数学で話をしたいならば
「数学の言葉」で話さなければいけません．
何もかもを完璧に定義すれば
独自の世界の言葉で構わないけども，現実的には無理でしょう
自作モデルがミンコフスキさんのモデルよりも「優れている」かとかは
数学の話ではないでしょう．

＃個人的には，時間だけ特別扱いしたのは
＃卓見だと思いますけどね．
＃だって，普通の移動なら右いって左にいけば戻れますけど，
＃三分あって三分戻るなんてできないもん．
＃特殊性を含めてモデルにするなら，特別扱いして当然．

＞「ミンコフスキー空間は、１次独立でないのでスカラー内部次元が生じているけど、ベクトル記述の次元は４つである。」

またここで「意味不明の独自言葉」が・・・
「空間が一次独立ではない」？？
「スカラー内部次元」？？
「ベクトル記述の次元」？？？

まず，「一次独立」ってのは「複数のベクトル」に対する用語であり，
空間相手には使わない．もし使うなら
数学的に厳密で破綻してない定義をどうぞ

「スカラー内部次元」？？なんじゃこりゃ？
例えば，前にでてきた「複素数」で考えよう．
虚数 a+bi は複素係数で考えれば「スカラー」だけど
実係数で考えればベクトルで，確かに二次元．
ベクトル空間の次元ってのは「係数」に依存するものなのだが
今の文脈は「実係数」でしょ？そうなればスカラーなんかにゃ
こんな構造はない．意味不明．

「ベクトル記述の次元」・・解釈すらできない

他にもいろいろ・・・突っ込みどころ満載ですが
恐らくこの溝は永遠に埋まらないと思いますな
まあ，まずは線型代数を勉強しなおしましょう．
量子力学は「無限次元の線型代数」って側面もあることだしね．

この回答への補足

＞数学は「定義」と「論理の展開」がすべて．

定義：１次独立は全部の方向に動いて距離が０でないこと。

ユークリッド４次元：一次独立である。
ミンコフスキー４次元：一次独立でない。

飛行機で地球を一周すると元にもどります。
軸は経度方向と緯度方向の２種類あるけど独立ではありません。
地球表面の曲率というスカラー量が必ず必要になります。
同じ理由でミンコフスキー４次元にも軸は４種類あるけど別にスカラー量が必要です。

補足日時：2008/06/15 12:54

この回答へのお礼

＞まずは線型代数を勉強しなおしましょう．

真面目な応答有難うございました。
混乱が深まったのでしばらく待ってトピを閉めます。

お礼日時：2008/06/15 15:10