∇演算子の計算

∇×∇×A = ∇∇•A -∇^2A
ですが、右辺の∇∇•Aと∇^2Aの違いがわかりません。
同じだと打ち消し合って0になってしまいます。
計算の仕方が違うのならば、∇∇•Aの計算方法を教えて下さい。

ちなみに、∇は極座標表示で
∇　= ∂/∂r* ar +∂/r∂θ* aθ + ∂/r sinθ∂φ* aφ
ar, aθ, aφはそれぞれ極座標単位ベクトルです。

どなたか、ご指摘、アドバイスよろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/10 21:38

一番ややこしい項は ∇^2 A で、

∇^2 の ^2 が ∇ どうしの内積を表していることや、
∇^2 は本来スカラからスカラへの写像のはずで、
ベクトルへ作用するときには
∇^2 [u, v, w] = [∇^2 u, ∇^2 v, ∇^2 w] という意味
であることなどを知っていないと読めません。

∇を使った式の書きかたに慣れていないならば、
その公式は、rot rot A = (grad div A) - (div grad A)
とでも書いたほうが解りやすいかもしれない。

あるいは、∇で書くにしても、筆を加えて
∇×(∇×A) = ∇(∇•A) - (∇・∇)A とか、
∇×(∇×A) = ∇(∇•A) - ΔA とか。

結局、A = [u, v, w] のとき、

∇∇•A = ∇(∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z)
= [∂^2u/∂x^2+∂^2v/∂y∂x+∂^2w/∂z∂x, ∂^2u/∂x∂y+∂^2v/∂y^2+∂^2w/∂z∂y, ∂^2u/∂x∂z+∂^2v/∂y∂z+∂^2w/∂z^2]

∇^2 A = [∇^2 u, ∇^2 v, ∇^2 w]
= [∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2, ∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2+∂^2v/∂z^2, ∂^2w/∂x^2+∂^2w/∂y^2+∂^2w/∂z^2]

となります。

尚、この回答では、
計算順序の ( ) と区別するため、ベクトルの括弧を [ ] と書きました。

この回答へのお礼

ご丁寧に説明して下さり、ありがとうございました。
∇∇Aを∇(∇•A)と書くと∇^2Aとの違いがわかり理解できました。
みなさん、本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/01/11 10:33

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/10 21:59

#2です。

参考までに
過去の同じ式の証明のQ&Aです。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/10 21:27

括弧をつける

∇×(∇×A) = ∇(∇•A) -∇^2 A
rot(rot A) = grad (div A) - ∇^2 A

（rotとcurlは同義語の別呼称）

参考URL
http://www.gijyutsu-keisan.com/science/math/vect …
http://mathworld.wolfram.com/Nabla.html
http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html
http://mathworld.wolfram.com/VectorDerivative.html
http://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html

参考URL：http://mathworld.wolfram.com/VectorDerivative.html

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/01/10 18:17

∇∇•A と書くから混乱する. 丁寧にかっこを付けて

∇(∇•A)
と書けばいい.