ベクトル解析∇・(∇×а)＝0を詳しく証明してくだい

∇・(∇×а)＝0を証明してくだい明日までなんです

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/05/13 22:05

∇・(∇×а)

＝∇・
| 　　　i 　　 j 　 k 　　　 |
| 　∂/∂ｘ１　∂/∂ｘ２　　∂/∂ｘ２　 |
| a1　　　　　　a2　　　　　a3 |

＝∇・
「　i（∂a3/∂ｘ２－　∂a2/∂ｘ３）　
　＋ｊ（－∂a3/∂ｘ1＋∂a１/∂ｘ３）
　　ｋ（∂a２/∂ｘ１－　∂a１/∂ｘ２）」

＝（∂^2(a3)/(∂ｘ1∂ｘ２)－　∂^2(a2)/(∂ｘ1∂ｘ３))
（－∂^2(a3)/(∂ｘ2∂ｘ1)＋∂^2(a１)/(∂ｘ2∂ｘ３)）
（∂^2(a２)/(∂ｘ3∂ｘ1)－　∂^2(a１)/(∂ｘ3∂ｘ2))

この回答へのお礼

ありがとうございますとても助かりますました

お礼日時：2009/05/14 01:15

No.5 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/05/16 12:15

Ａ・（Ｂ×Ｃ）＝-Ｂ・（Ａ×Ｃ）・・・・・（１）

の公式がある。

これに、ベクトル解析∇・(∇×а)を適用する。
A---->∇
B---->∇
C---->a

∇・（∇×a）＝-∇・（∇×a）・・・・・（２）

∇・（∇×a）＋∇・（∇×a）＝０・・・・・（３）

２∇・（∇×a）＝０・・・・・・・・・（４）

∇・（∇×a）＝０・・・・・・・・・・・（５）

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/14 02:22

∇・(∇×а) = εijk・∂i・aj・∂k

　　　　　　 = -εkji・∂i・aj・∂k
　　　　　　 = -εijk・∂k・aj・∂i
　　　　　　 = -εijk・∂i・aj・∂k
より、 εijk・∂i・aj・∂k = 0 です。

No.3 回答者： moumougoo 回答日時： 2009/05/14 01:01

No.2の人が答えてしまっているので、折角なので・・・

通常のベクトル計算の公式
Ａ・（Ｂ×Ｃ）＝ Ｃ・（Ａ×Ｂ）＝（Ａ×Ｂ）・Ｃにならって
解く方法を提案します。

∇・（∇×a)ですが、∇はaに作用して、∇どうしは影響しあわないことに着目します。
するとＡ・（Ｂ×Ｃ）＝ Ｃ・（Ａ×Ｂ）＝（Ａ×Ｂ）・Ｃにならって
∇・（∇×a) ＝ ＜a・（∇×∇)＞ ＝（∇×∇)・a
とできます。ここで＜＞は各項のaを一番右側に並べる操作を表すとします。
つまり、例えば
＜a_x ∂_y ∂_z＞=∂_y ∂_z a_x
のようにするということです。

∇×∇＝0なので
（つまり一般に∂_x ∂_y - ∂_y ∂_x = 0のようなことが成り立つので）

∇・（∇×a) ＝ ＜a・（∇×∇)＞ ＝（∇×∇)・a = 0

となります。

No.1 回答者： yumitsuki 回答日時： 2009/05/13 18:42

ヒントだけ申し上げるならば、この計算に近道はありません。

定義に従って、順番に愚直に丁寧に計算するしかありません。
頑張って下さい。本気で取りかかれば、意外と簡単です。