ベクトルの一次独立が一通りに分解される理由

ベクトルの重要な性質についてお尋ねしたいのですが、
Г↑aと↑bが1次独立のとき、↑a、↑bと同じ平面上に書かれたベクトルは全て
ma↑+nb↑(m、nは定数)の形に分解でき、m、nの組はただ一通りである。｣
という性質があると思います。

これは証明、または理由を説明できますか？
とくに｢ただ一通り｣のところが知りたいです。
学校の先生は｢連立方程式の答えが一通りしかないのと同じだ｣的なことを言っていましたが、いまいち理解できませんでした。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/19 21:06

このやり方は定石となっています。

一次独立とは
　c₁a+c₂b=0 → c₁=c₂=0
のことです。

任意のベクトル x について
　x=c₁a+c₂b
　x=c₁'a+c₂'b
と２通りあったとすると
　0=x-x=(c₁-c₁')a+(c₂-c₂')b
となり、a,bは一時独立だから
　(c₁-c₁')=(c₂-c₂')=0 → c₁=c₁' , c₂=c₂'
となり、分解は一通り。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/19 21:37

一般論として「ただ一通り」の証明では背理法がよく用いられる.

「ただ一通り」であることが直接示せるならその方がベターだけど.