光について

高校3年生のものです。
物理の問題で、「容器の底に小さな光源を入れ、焦点距離が8cmの薄い凸レンズを光源の真上10cmのところに置いた。今、透明な液体を容器に4cmの深さまで入れたところ、実像が上方72cmのところでできた。液体の屈折率はいくらか？」
という問題がありました。
まず、レンズの公式の1/a+1/b=1/fを思いうかべ、レンズと光源の距離を求めようと思いました。光学的距離を考えて、屈折率をnとするとレンズとの距離は4n+6となるので公式のaに4n+6を入れて答えを出すとn=3/4となりました。
しかし答えを見るとレンズとの距離はn/4+6となっており、n=4/3となっていました。
どうしてこのようにするのでしょうか？

No.7 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/08/09 22:00

No4です。

回答しようかどうかと迷いましたが、やはり気になったので一言補足させて下さい。
「見かけの深さ」の公式を導くには、高校物理の幾何光学の方法が適当だと思います。No4では、Tanθ≒θただしθ→０という近似だけを示しましたが、もう一つ書き忘れていました。
Sinθ≒θただしθ→０
を追加して下さい。

尚、No4でも述べましたが、「見かけの深さ」の公式は、水面を垂直真下に見る場合にしか適用できないことです。一般的には、
ｄ≦D/n
となります。等号は水面を鉛直真下に見る場合しか成立しません。このことは覚えておいて下さい。

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/09 08:35

＃１です。

「光学(的)距離」という言葉を不用意に使ってしまい、申し訳ありません。
質問者様が水の深さ４ｃｍが屈折のために３ｃｍであるように見えるということに当てはめて使われていましたのでそういう意味かなと勝手に解釈して使ってしまいました。

＃２で書かれている「見かけの深さ」というのがこの場合にあてはまるものです。たいていの教科書には図入りで説明されているものです（「例題」として取り扱っています）。深さが１／ｎになります。これを有効深さのように考えて光学的距離と言っているのかなと勝手に解釈して書きました。質問者様が光学的距離の式を教科書で探して当てはめようとしたのも同じ発想だろうと思います。

今、高等学校の教科書を探し出して見ています。
「光学(的)距離」は違う意味ですね。

「光学(的)距離」は出てくる教科書も出てこない教科書もあります。この考え方を使うところは「薄膜の干渉」のところだと思うのですが扱いは教科書によってまちまちです。出てこない教科書もあります。

媒質の中を通ると波長が変化しますから干渉条件が変化します。屈折率ｎの媒質の中では波長がλ’＝λ/ｎになりますから距離Ｌの中にある波の数は　Ｌ/λ’＝ｎ（Ｌ/λ）＝(ｎＬ)/λ　になります。これは元の波長でｎＬの距離を進む時と同じ波数になっています。この「相等距離」を「光学距離」と呼んでいます。（このことから幾何光学の範囲では必要のない言葉であることがわかります。）

ホイヘンスの原理を使って屈折の説明をするときは速さが変わることを利用します。振動数は変化しませんから波長が変わります。この時点で「光学(的)距離」を定義する材料は揃っていますが「光学(的)距離」という考え方を出す必然性はありません。相等距離を考える場面が存在しないからです。でも他の場所で扱うだけの余裕のない教科書では言葉だけのものとして「光学(的)距離」を出しているようです。

多分、質問者様の見られた教科書でも「光学的距離」が「相等距離が意味を持つような場面ではない所に書かれている」のではないでしょうか。だからどういう使い方をするのかが分からないままに公式として使ってしまったのだろうと思います。
手元にあるＨ５年のある出版社の教科書では「光学距離」と言う言葉の出てくる同じページに「見かけの深さ」の例題が載っています。「光学距離」は屈折の一般式の説明の中に出てきます。薄膜の干渉の単元ではありません。相等距離を考える場面は示されてはいません。言葉だけです。混同する生徒が出てきても当然だと思います。

No.5 回答者： fine001 回答日時： 2008/08/09 02:13

光学距離というのは、屈折率ｎの物質内でLの距離を通過する間に、真空中ではどれだけの距離を通過できるか？という意味です。

屈折率ｎの物質内で距離Lを通過するのに要する時間は、物質内での光速をvと表すとL/vです。では、真空中（空気の屈折率を1とするなら空気中でも同じ）での光速をｃとすれば、真空中ではc×L/v＝（ｃL)/ｖの距離を通過するということになります。
屈折の法則から、ｎ＝c/v　ですから、光学的距離は(cL)/v＝ｎL　となり、教科書の通りです。したがって、＃１様の回答の『屈折率ｎの液体の厚みが４ｃｍあるときの光学的距離は４ｎでもｎ/４でもありません。４/ｎです。』というのは、錯誤があるように思います。

さて、本題ですが、結像公式から物体距離はa=9(cm)となります。
このことは、水の層がないときにはレンズから10(cm)のところに光源があったが、水の層があることでレンズから9(cm)のところにあることになったわけです。
水を入れたとき上面となる水平面を基準面とすると、水がなければ基準面から空気中4(cm)にある光源が、水を入れたために基準面から水中3(cm)の位置にあるのと同じになったことを意味します。
即ち、水中3(cm)が空気中4(cm)に相当するわけです。水の屈折率をｎとすると、　ｎ×3＝4　したがって、ｎ＝4/3となります。

No.4 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/08/09 01:39

高校物理に「見かけの深さ」というのがあります。

水の屈折率をｎ、実際の深さをDとしたとき、見かけの深さｄを求める公式です。
ｄ＝D/n
ですが、この公式を導く図を忘れやすいですね。私も何回も忘れました。「見かけの深さ」をキーワードに検索して下さい。
留意すべき点は、この公式は、水面を垂直真下に見る場合にしか適用できないことです。
図から公式を導くには
Tanθ≒θただしθ→０
という近似を使います。
図は忘れてもいいですが、公式は覚えておきましょうね。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/09 01:29

再びお邪魔します。

＃１様への補足の内容が気になりましたが、
光学的距離　＝　屈折率×距離
という式は、
「屈折率が大きいのに、こんな長い距離を走って大変だったね。ご苦労さん。
　だから、その屈折率のハンディの分を割増しして、屈折率×距離　で計算したものを、あなたが走った距離（光学的距離）ということにしてあげましょう。」
という式です。
つまり、屈折率が大きいほど、光学的距離が大きいということになります。

しかし、この問題は、光学的距離のことを問うているのではありません。
前回書いたとおり、液体内での波長が（屈折率に反比例して）、空気中（真空中）での波長よりどれだけ短くなりますか？、
それによって、どれだけ短い距離で空気とのつじつま合わせができますか？
ということです。
（波長と距離は、比例関係にあります）

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/08 23:34

こんばんは。

「４ｎ＋６を入れて答えを出すとｎ＝３／４」
と書かれていますから、
液体がない場合に ９ｃｍ というところまでは計算できているわけですよね？
問題なのは、４ｎ＋６　なのか、　ｎ／４　＋　６　なのか、
ですよね？

ご存知とは思いますが、屈折率は、媒質（光の通り道となる物体）中における光の「遅さ」（真空中の光速÷物体内の光速）のことです。
光が速ければ屈折率が小、遅ければ屈折率が大です。
屈折率が大きい物質中を透過するとき、光が遅くなったことの「つじつま合わせ」として、物質内での波長が短くなります。
（周波数でつじつま合わせをすることができないので。）

液体中での波長　：　大気中での波長　＝　１／ｎ　：　１

これにより、大気中での１ｃｍは、液体中の距離１／ｎ　ｃｍ　に相当することになります。

よって、
６×１[ｃｍ]　＋　４×１／ｎ [ｃｍ]　＝　９×１[ｃｍ]
となります。

No.1 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/08 22:54

先に確認です。

＞実像が上方７２ｃｍの所に出来た
というのはレンズの上方７２ｃｍの意味ですね。容器の底から７２ｃｍではないですね。

光学的距離など使わずにまずレンズの上方７２ｃｍのところに像を作ることのできる光源の位置はどこかを計算してみてください。９ｃｍになります。底から１ｃｍ上です。水があることによって光源が浮き上がっているのです。水の深さは４ｃｍですから１ｃｍ浮き上がるということで屈折率が出ます。

屈折率ｎ＞０です。真空の屈折率が１です。水の屈折率が１より小さい値になれば間違っています。水中の光源から出る光が水面で屈折するときどちら側に曲がりますか。

屈折率ｎの液体の厚みが４ｃｍあるときの光学的距離は４ｎでもｎ/４でもありません。４/ｎです。ｎ＞１ですから短くなります。
出来たと

この回答への補足

教科書を見ても光学的距離は屈折率×距離となっています。
どうして4/nになるのでしょうか？？

補足日時：2008/08/08 23:36