光のレンズ 集光力についての問題です。英語があります。 Consider a lens made o

光のレンズ 集光力についての問題です。英語があります。 Consider a lens made of only one surface (similar to a goldfish bowl), such that the focus point is inside the glass. The surface radius of curvature is R. At what refractive index n is the focusing power, phi = 1 / f, of the lens surface equal to the focusing power of a spherical mirror with the same R?
とあるものと等しい集光力を持ったレンズの屈折率はいくつであるかみたいな問題であるとは思うのですが、どうやって解いたらいいのか分かりません

質問者からの補足コメント

• 球面鏡においてr＝2fとなるのは知ってます

    補足日時：2022/11/22 17:02

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2022/11/23 17:13

#1です。

もう少しヒントをあげましょう。
xy座標の原点を中心とする半径Rの円（球の中心を通る断面）の円周上のある点P(xp,yp)を入射点とします。Pを極座量で表すと（R,θp）x軸に平行な光が点Pに正の方向から入るとします。球の屈折率をn、球の外側の屈折率を1として屈折の法則（スネルの法則）を使って屈折角を求め、屈折光の直線の式を作ります。三角関数の公式を使って適当にまとめます。
屈折光がx軸と交わる点が「焦点」で、その座標は
x=Rcosθp+Rsinθp*((2^2-(sinθp)^2)^(1/2)+tanθp sinθp)/(tanθp (2^2-(sinθp)^2)^(1/2)-sinθp ) ≈ R(1+n/(n-1))
です。ここで「≈」の後ろは θp<<1として三角関数の近似式を使います。
焦点距離は主点からの距離ですが、今の場合主点は原点に一致します。
x=-R/2とおけばn=3になります。
*** 上式の括弧が一致していないかもしれません、自分で確かめてください。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2022/11/16 21:09

曲率がRの球面鏡の焦点はどこにできるか知っていますか？知らなければまずその位置を求めてください。

次に、半径がRの金魚鉢のような単一曲面（早い話が球面）を持った屈折率がnのガラス玉を考えます。そのガラス玉の焦点の位置を屈折の法則を使って求めます。焦点に関するこれら二つの式が等しくなるようなnを求めさせるのがこの問題です。
この問題のおかしなところは近軸(paraxial)光線に限ると制限してないことです。実際には球面レンズも球面鏡も光軸から外れると球面収差のために光線は一点には集まらなくなります。球面収差は大体焦点距離の10倍のビーム径になると目立ちます。
さあ計算して見ましょう。

この回答へのお礼

色々考えてみたんですけどn＝3となりませんでした。詳しく教えてもらってもいいでしょうか

お礼日時：2022/11/22 17:00