面積を求める問題（中学）

この問題は、ここで質問するのがとても難しいのですが、わかりやすいように書きます。

　下図のような一辺が１０ｃｍの正方形があります。
　　
　Ａ＿＿＿＿＿＿＿Ｂ
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　ＣーーーーーーーＤ

その中に、辺ＡＣとＣＤを半径（母線）とした扇形を書き、さらに辺ＡＢを直径とした半円を書くと、葉っぱのような部分が重なってできます。
その面積を求めよ。という問題です。
この説明でわかりますでしょうか？

扇形のほうは、１/４円の形です。　

追加説明が必要な場合は追加します
明日の朝までに解かなくてはならないので、自分でも朝までがんばるつもりですが
ご協力宜しくお願いします

No.4 ベストアンサー 回答者： ume-kichi 回答日時： 2002/12/20 02:13

まず、鉛筆を用意し、今から言うように補助線と記号を入れてみましょう。

(1)辺ＡＢの中点をＥとする。
(2)１/４の扇形と半円の交点をＦとする。
(3)ＡとＦ、ＣとＦを直線で結ぶ。
(4)ＥとＦを直線で結ぶ。
(5)ＣとＥを直線で結ぶ。

以上ができれば、次に図形を見てみることにしましょう。
△ＡＣＦは正三角形であるから、∠ＡＣＦ＝∠ＣＡＦ＝６０°である。
∠ＡＥＣは△ＡＥＣより９０°－３０°＝６０°

ここで、△ＡＥＣを別の場所に描き写してみましょう（辺ＣＥ下になるようにして、曲線も）。そうしたら今度は曲線と辺ＣＥとの交点をそれぞれ順にＧ、Ｈとおきましょう。すると描き写した図形における求めたい面積は、
　（Ｃを中心に半径１０cm、中心角３０°の扇形の面積）
＋（Ｅを中心に半径 ５ cm、中心角６０°の扇形の面積）
－　△ＡＥＣ（底辺５cm、高さ１０cmの直角三角形）
であることはわかりますか？
（補足：３つの図形を色を分けて塗ってみましょう。すると求めたい面積が２回塗られていることに気付くと思います。だからいらない直角三角形を引くわけです。）

実際に計算してみると、
（１０×１０×π×１/１２）＋（５×５×π×１/６）－５×１０÷２
＝２５π/６－２５　　…（＊）

△ＣＥＦについても同様のことが言えます。
（補足：∠ＣＦＥ＝９０°、∠ＦＣＥ＝３０°、∠ＣＥＦ＝６０°で、辺の長さも△ＡＣＦと同じ。いわゆる合同ってやつです。わからなければ、全く同じ三角形だと思ってください。）
よって（＊）の答えの２倍したものがこの問題の答えというわけです。

以上より　（２５π/３－５０）cm２となります。

No.14 回答者： ume-kichi 回答日時： 2002/12/21 03:37

またまた＃４のume-kichiです。

訂正です。＃１３に書いたことは忘れてください。ＡＦは半径と無関係のことですから…。
＃１０さんに、指摘されて何でだろう…？って思う…。
＃４の解答はとりあえず忘れてください…。はい…。

No.13 回答者： ume-kichi 回答日時： 2002/12/21 03:18

Ｎｏ．１０さんへの解答です。

ＡＦ、ＣＦはＡＣを半径とした扇形の半径ですから…。
全て長さが同じだから、これは正三角形の定義です。

No.12 回答者： kony0 回答日時： 2002/12/20 22:05

私の答えは、100*arctan(1/2) + 25*arctan(2) - 50です。

#9さんの答えと一致してると思います。

いずれにせよ、中学範囲で出せる数字でないでしょうな。。。

No.11 回答者： NIWAKA_0 回答日時： 2002/12/20 20:55

まず、

Ａ＝24.043479(cm2)

これはＣＡＤで作図・計測したものなので、（ほぼ）正確ではありますが、
求め方はわかりませんｗ

No.10 回答者： astronaut 回答日時： 2002/12/20 14:27

これだけいろんな答えがでると混乱するでしょうねぇ…

◯No2さん
残念ながら、作図をとりちがえていらっしゃると思います。

◯No3さん
右半分が難しい…

◯No4さん
> △ＡＣＦは正三角形
どうして?

◯No.8さん
> 半円ＡＢの面積から変な形ＡＥＢの面積をひけば葉っぱの形の面積がでます。
じゃないですよね。

というところだと思うんですが、実は自分が大きな勘違いをしてたりして…

No.9 回答者： astronaut 回答日時： 2002/12/20 13:51

3:4:5の直角三角形の直角以外の角のうち大きいほうの角度を

θ[rad](簡単にいうと、θ=arctan(4/3))とすると、答えは

75θ/2+25π/2-50 (cm^2) ≒ 24 (cm^2)

ですけど、これってホントに中学生の問題?

No.8 回答者： ADEMU 回答日時： 2002/12/20 10:16

もし、作図が間違っていたらごめんなさい。

弧ＡＤと弧ＢＣの交点をＥとすると、
△ＥＣＤは正三角形になります。この面積は２５√３（ｃｍ２）となります。
次に、弧ＡＥと弧ＢＥは３０度の同一の扇型になります。この面積は各５０π／３（ｃｍ２）となります。
よって変な形ＡＥＢの面積は１００－（５０π／３＋２５√３）となります。
半円ＡＢの面積から変な形ＡＥＢの面積をひけば葉っぱの形の面積がでます。
よって葉っぱの形の面積は
２５π／２－（１００－（５０π／３＋２５√３））＝１７５π／６－１００＋２５√３（ｃｍ２）となります。

No.7 回答者： ume-kichi 回答日時： 2002/12/20 03:27

Ｎｏ４のume-kichiです。

ごめんなさい。
見直してみて、考え方は以下の通りですが、計算間違いしてました…。
（＊）は７５π/６－２５です。
よって答えは、７５π/３－５０です…。
ありゃ…。

No.6 回答者： sippouhugu 回答日時： 2002/12/20 02:27

＃あ、ごめんなさい。

＃5間違えています。
こんなにすぐに間違いに気付くのに、投稿してしまった・・。
反省します。
お休みなさい。