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- 回答日時:
複素数の積分で Cの周囲に一周したときに値があるのは,ローラン展開したときの '1/zの項'だけです。
従って 与式 をローラン展開して 1/zの係数を求めます。
その係数に2πiをかけた値が積分の値になります。 たあし問題をみると
1/2πiが積分記号の前にかかっているので、求めるものは、
1/zの係数をもとめればOKということになります。
つまり留数を求める問題です。
さて、 e^z/z^nを 展開します。 この展開は e^zの展開を使います。
e^z= 1+ z^1+ 1/2!z^2 + 1/3! z^3 + ,,,,,,,,,
より これを z^nでわると
e^z/z^n= z^(-n)+1*z^(1-n)+ 1/2!*z^(2-n),,, +1/k!*z^(k-n)+ ,,,,,,,
この式の 1/zの係数を求めます。 このときは k= n-1ですのでその係数は
1/(n-1)!
です。 従って答えは 1/(n-1)! です。
答え 積分値 1/(n-1)!
以上です。
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