No.3ベストアンサー
- 回答日時:
x と y の内積を (x, y) = x^H y と書くことにします. x^H は x の共役転置.
A がユニタリなら A^H A = I (単位行列) なので
(Ax, Ax) = x^H A^H A x = x^H x = (x, x).
ここで x として Ax = λx を満たす x をとれば終了.
あと, (2) と (3) は実は同じ問題で, 同じ方法で示せます>#2. もっといえば「固有値は最小多項式の零点」.
No.2
- 回答日時:
こんばんは.
最初の二つは割と簡単に証明できますよ.
以下,特性根を固有値と言及します.
[1]
l_j を A の j 番目の固有値とし,対応する固有ベクタを z_j とする.
このとき,A の逆行列 A^(-1) に関して,以下が成立します.
A^(-1)*z_j = z_j/l_j ...(1)
同様にAの転置共役行列 A^H に関して,以下が成立します.
A^H*z_j = l_j^H*z_j ...(2)
なのですが,A^H = A^(-1) であることから,(1)=(2)です.
l_j^H = 1/l_j
Aがユニタリ(複素固有値で言及しているなら直交ではないでしょう)
なら l_j は非零ですから,l_j^H*l_j = 1 です.
したがって,l_j は単位円上にあります.
[2]
[1]と同様の l_j と z_j を考えます.
A*z_j = l_j*z_j ...(3)
この式の両辺に左から A を乗算します.
A*A*z_j = l_j*A*z_j = l_j^2*z_j ...(4)
したがって,l_j^2 は A^2 = A*A の固有値です.
ですが,定義から A^2 = A ですから,固有値もまた一致せねばなりません.
すなわち, l_j^2 - l_j = 0 です.
したがって, l_j は1か0です.
[3]はやったことが無いので一寸分からないです.
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