ｘ≧０、ｙ≧0と円で囲まれた面積の求め方。

ｘ≧０、ｙ≧０と原点を中心とする円ｘ＾２＋ｙ＾２＝１とｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）で
囲まれる面積なら
円と直線の交点のｘ座標αを求め
∫（from0 to α)√(1-x^2)dx
をｘ＝cosθとして置換積分すれば求められますよね？

では、ｘ≧０、ｙ≧０と原点を中心としない円で囲まれた面積の求めるにはどのようにすればいいのでしょうか？

積分を使って求めるのでしょうか？
それとも他に方法があるのでしょうか？

ｘ軸、ｙ軸との正の交点とでできる円の中心角から扇の面積を求めて
あとは三角形を足す方法を思いついたのですが
中心角が求められません。

回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/10 07:47

参考程度に

ｘ≧０、ｙ≧０と原点を中心とする円ｘ＾２＋ｙ＾２＝１とｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）で
囲まれる面積

第一象限の扇型面積について、
ｙ＝ｋｘ, kは傾きだから、角度はα=tan＾-1(K)
面積=∫[0→α](1/2)r＾2dθ=(1/2)r＾2{tan＾-1(K)}
r=1,
=(1/2){tan＾-1(K)}


≧０、ｙ≧０と原点を中心としない円で囲まれた面積とｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）で
囲まれる面積
円の中心座標(a,b) a>0, b>0　とすると、
(x-a)＾2＋(y-b)＾2＝１
y=kx
(x-a)＾2＋(kx-b)＾2＝１
x＾2(1+k)-2x(a+b)+(a＾2+b＾2)-1=0
この２次方程式の解　x=α、β　から　
の{α>0, β<0} {α>0, β>0} の場合に分けて
考えます。
円の中心座標(a,b)の位置によっていろいろな場合が想定されます
ので簡単にはなりませんね。

この回答へのお礼

ｘ≧０、ｙ≧０と原点を中心としない円で囲まれた面積とｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）で
囲まれる面積は
難しそうなのでまずｘ≧０、ｙ≧０と原点を中心としない円で囲まれた面積に
ついて回答、もしくわアドバイスをいただけないでしょうか？
これが分ればｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）で囲まれるという条件を加えられてもできると思うのですが。

あと書き忘れていたのですが条件にｒ＜a,r＜b。

例えば（x-2）^2+(y-3)^2=16
ではどうなるのでしょうか？（どのような円の方程式が計算しやすいか分らないのですが）

つまり積分で求めるしか方法はないのでしょうか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2003/02/10 12:43

No.4 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/11 10:26

受験数学に限って言及すれば中途半端な角度は出にくいのではないか？

と聞きたかったのです。

一概には言えないけど。答えが合えばという出題でしたら指摘(解る角度）のケースは多いかと思います。

それから一部間違いがありました。訂正しておきます。
中心座標(a,b)とx軸のの交点座標(√(r＾2-b＾2),0)とx軸で出来る角度αxは
αx=tan＾-1{b/{√(r＾2-b＾2)}}
同様に
中心座標(a,b)とy軸のの交点座標(0,√(r＾2-a＾2))とy軸で出来る角度αyは
αy=tan＾-1{a/{√(r＾2-a＾2)}}
ですね。ごめん。

この回答へのお礼

余弦定理で求めてその角度がわからないようなら
計算を間違えている可能性が高いということですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2003/02/11 13:36

No.3 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/10 16:32

「それをラジアンに直さなければならないんですよね。

」

積分をしないので、（度）表示でいいですよ。
πr＾2（A°/360）でも良いのですから。
扇型の面積Sｒ=πr＾2*{90+(αx+αy)}/360
(αx+αy)：角度は度で計算、扇の角度さえわかればＯＫということです。
今回はラジアン表示に統一したということだけですから。
ということかな。
　

この回答へのお礼

何度もアドバイスを頂いておいて図々しくて申し訳ないのですが
言いたかったのは
15°、30°、45°60°、75°、90°・・・とかしか分りませんよね？
つまり18度や１９度は分りませんよね。

受験数学に限って言及すれば中途半端な角度は出にくいのではないか？
と聞きたかったのです。

アドバイスありがとうございました。

お礼日時：2003/02/11 00:07

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/10 13:48

積分を使わなくてもできますね。

参考程度まで

≧０、ｙ≧０と原点を中心としない円で囲まれた面積
囲まれる面積
円の中心座標(a,b) a>0, b>0　とすると、
(x-a)＾2＋(y-b)＾2＝r＾2
y=0, (x0-a)＾2+b＾2=r＾2
(x0-a)=±√(r＾2-b＾2) →x座標との交点
第一象限：(x0-a)=+√(r＾2-b＾2)
x=0,
(y0-b)=±√(r＾2-a＾2) →y座標との交点　
第一象限：(y0-b)=+√(r＾2-a＾2)

原点(0,0)と円の中心座標(a,b)とx軸の角度α0は、
α0=tan＾-1(b/a)
中心座標(a,b)とx軸のの交点座標(√(r＾2-b＾2),0)とx軸で出来る角度αxは
αx=tan＾-1{b/{√(r＾2-b＾2)}-a}
同様に
中心座標(a,b)とy軸のの交点座標(0,√(r＾2-a＾2))とy軸で出来る角度αyは
αy=tan＾-1{a/{√(r＾2-a＾2)}-b}
これで扇の角度が計算出来ますね。
三角形が２個の側は、
(π-α0-αx)+(π-{(π/2)-α0}-αy)=(π-α0-αx)+(π/2+α0-αy)
={(3π/2)-(αx+αy)}
だから面積勘定の扇型角度αr=2π-{(3π/2)-(αx+αy)}=π/2+(αx+αy)
扇型の面積Sｒ=πr＾2*{π/2+(αx+αy)}/2π=r＾2*{π/2+(αx+αy)}/2
三角形２個の面積はそれぞれ、
Sx=b*{√(r＾2-b＾2)}/2
Sy=a*{√(r＾2-a＾2)}/2
ということで、総面積Sは、
S=r＾2*{π/2+(αx+αy)}/2+b*{√(r＾2-b＾2)}/2+a*{√(r＾2-a＾2)}/2
という感じになりますね。

（x-2）^2+(y-3)^2=16=4＾2
a=2, b=3, r=4
3*{√(4＾2-3＾2)}/2+2*{√(4＾2-2＾2)}/2
=3√7/2+2√12/2=3√7/2+4√3/2
αx=tan＾-1{b/{√(r＾2-b＾2)}-a}=tan＾-1{3/√7-2}
αy=tan＾-1{a/{√(r＾2-a＾2)}-b}=tan＾-1{2/√12-3}
4＾2*{π/2+(αx+αy)}/2
という感じで計算できますか。
計算は確認してください。ミスがあるかも。

この回答へのお礼

再度、アドバイスありがとうございます。

何となく解けるという見込みができてきました。

αｘ＋αｙはタンジェントの加法定理を使ってあらわせますけど
それをラジアンに直さなければならないんですよね。
これがラジアンであらわせない場合はどうしようもないということでしょうか？

つまり実際に出題される場合はラジアンに直せるものしか出ないのでしょうか？

そうであるならば余弦定理などを使って扇の角度を求めるということでしょうか？

何度もアドバイスを頂いて申し訳ないのですがよろしくお願いします。

お礼日時：2003/02/10 15:44