今更で申し訳ないのですが、疑問が2つあります。 ①g(z)=tan(z)(z-π/2)でz→π/2(

今更で申し訳ないのですが、疑問が2つあります。

①g(z)=tan(z)(z-π/2)でz→π/2(z=π/2)の時は、g(z)の式は収束する為、コーシーの積分定理によってa(n)は0になると思ったのですが、なぜ画像のようにa(n)の式が作れるのでしょうか？


②g(z)の式が発散する時は、コーシーの積分定理によりa(n)は0とはならず、a(n)の式は作れます。
しかし、a(n)の式は発散するg(z)を含む為、a(n)の式は発散してしまいます。
なぜ発散するa(n)の式からa(n)の値が導けるのでしょうか？

どうか分かりやすく教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  あの、f(z)=1/(z^2-1)に関しては、n≧-1の時にz=1でn+2位の極を持つ為、コーシーの積分定理によりa(n)は0にならず、
  
  すなわち、z=1の時に発散するg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の式を含むa(n)の式は発散して=∞になると思ったのですが、赤い下線部のように導けました。...③
  
  そして、このa(n)の式にn≧-1より、例えばn=-1を赤い下線部の式に代入しても発散せずにn=-1の時の値が導けます。...④
  
  上記の③と④において、なぜ発散しないのでしょうか？

  
    補足日時：2024/05/08 11:55

• 度々申し訳ありません。
  
  Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式はf(z)がk=1の極を持つ時に使える式だったと思うのですが、
  f(z)=tan(z)はz→π/2(z=π/2)の時にk=1の極を持つ為、Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式が使えて、
  
  Res(f(z),π/2)=lim_{z->π/2}(z-π/2)tan(z)と導けますが、これは正しいのでしょうか？
  
  仮に正しくない場合は何が正しくないのかをどうか教えて頂けないでしょう。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/08 12:45

• >>a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz
  は
  あくまでも
  g(z)=tan(z)(z-π/2)
  の
  テイラー展開の公式なのです
  
  なぜa(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dzはテイラー展開の公式なのでしょうか？
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。
  
  
  また、Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)に関する補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/08 14:20

• mtrajcp様やありものがたり様の解答を読むに、
  今までf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開を導く際に、a(n)の式を使って導くと質問の①や②のような問題が起きる為、a(n)の式からf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の式を導いていた訳ではなく、
  
  ①や②のような問題が起きないようにする為に、
  正則の時にf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のテイラー展開の公式によって導いた近似式がf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開のnが0や正の範囲での近似式と同じ式である為、

    補足日時：2024/05/09 04:38

• f(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のテイラー展開の公式によって近似式を導いてから、次項をずらしてnが0や正の範囲だけではなく負の範囲でも展開した近似式を作り、
  その近似式はnが0や正の範囲だけではなく負の範囲でも展開する為、
  結果的にf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の近似式を導いたと言う事でしょうか？

    補足日時：2024/05/09 04:38

• https://imepic.jp/20240422/502940
  においての画像のg(z)=(z-π/2)tan(z)に関して質問があるのですが、
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」と書いてありますが、
  z=π/2の時にg(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則だと思うのですが、
  なぜ「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」となるのしょうか？

  
    補足日時：2024/05/09 17:05

• 積分の入ったa(n)以外のmtrajcp様に教えて頂いた今まで使っていたa(n)の式はテイラー展開の次項の係数を求める為の式だったという事で正しいでしょうか？
  だとしたらテイラー展開の公式からres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2024/05/10 05:33

• 4,2024.5.10 10:22に頂いた解答の
  「gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  g0(z)=tan(z)(z-π/2)」
  に関して質問があるのですが、
  
  gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ならば、n=0の時はg0(z)=tan(z)(z-π/2)ではなく、g0(z)=tan(z)/(z-π/2)となるのではないでしょうか？
  なぜg0(z)=tan(z)(z-π/2)となるのかわかりません。

    補足日時：2024/05/11 16:33

• 5,2024.5.9 17:30に頂いた解答より積分を含んだa(n)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きないとわかりましたが、
  res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式は積分を含んでいない為、res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/11 16:34

• https://imepic.jp/20240422/502940
  においての画像のg(z)=(z-π/2)tan(z)に関して質問があるのですが、
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」と書いてありますが、
  z=π/2の時にg(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則だと思うのですが、
  なぜ「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」となるのしょうか？

  
    補足日時：2024/05/13 13:38

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/08 09:42

この質問がでるということからあなたがまだローラン展開を勉強する準備すらできていないことがよくわかります。

まず、
∫_C z^n dz C:0を中心とした半径rの円周を反時計回りに1周
を実際に計算をしてください。
この計算をやっていない人に留数定理やローラン展開を理解することは不可能です。

人がする計算を見ても理解できません。自分で計算しないと身につきません。やり方がわからないのでしたらそこから勉強をしてください。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/08 11:04

f(z)=tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開

f(z)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
の
a(n)の式は

a(n)=∫{C} tan(z)/(z-π/2)^(n+1) dz

と

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz

の
2通りあるけれども

a(n)=∫{C} tan(z)/(z-π/2)^(n+1) dz
の
場合は
g(z)=tan(z)(z-π/2)
ではなく
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
を
積分するのだけれども
0<|z-π/2|=r<π
の円周上の線積分なので
積分は発散しません
だけれどもtan(z)の積分は困難なので
a(n)を求めるために積分はしないのです

その代わりに
g(z)=tan(z)(z-π/2)
をテイラー展開するのです

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz
は
あくまでも
g(z)=tan(z)(z-π/2)
の
テイラー展開の公式なのです

f(z)=tan(z)のローラン展開の
n次の係数
a(n)
は
g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開の
n+1次の係数
a(n)
と
同じになるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz
は
あくまでも
g(z)=tan(z)(z-π/2)
の
テイラー展開の公式なのです

なぜa(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dzはテイラー展開の公式なのでしょうか？
どうか理由を教えて下さい。

お礼日時：2024/05/08 12:23

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/08 13:19

補足日時：2024/05/08 11:55 について

a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)
={1/(n+1)!}lim{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

で

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)

から

{1/(n+1)!}lim{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

を導いているのではありません

1/(z^2-1)のローラン展開のn次項の係数

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)

と

1/(z+1)のテイラー展開のn+1次項の係数

a(n)
={1/(n+1)!}lim{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

が同じだから

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)
={1/(n+1)!}lim{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

となるのです

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)
=∫{0<|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)dz

の積分は

0<|z-1|=r<2
の円周上の線積分なので
積分は発散しません

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/08 14:11

今回もまた例によって、何を a(n) と定義したのか

名示せずに話を始めていますね？
毎度あなたの混乱(というかトリック？)の大半は
そこから来ています。

画像の文章から見て、a(n) は tan z の z = π/2 中心の
ローラン展開の係数 tan z = ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n
ですね？ その上で、
g(z) = (z-π/2)tan z ただし
g(π/2) = lim[z→π/2] g(z) と定義したのですね？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/08 14:19

① この質問文も、

どの関数にどの積分路でコーシーの積分定理を適用したのか
が不明確です。

g(π/2) = a(-1) になる理由は、前記の定義を順次代入して
g(π/2) = lim[z→π/2] g(z)
　　　　= lim[z→π/2] (z-π/2)tan z
　　　　= lim[z→π/2] (z-π/2)∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n
　　　　= lim[z→π/2] ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^(n+1)
　　　　= ∑[n=-∞→+∞] lim[z→π/2] a(n)(z-π/2)^(n+1)
　　　　= ∑[n=-∞→-２] 0 + a(-1) + ∑[n=0→+∞] 0
となるからで、途中 lim と ∑ の順番が交換できた理由は
冪級数 ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^(n+1) の収束は
収束円環内では広義一様だからです。

以上の計算に、積分は登場していません。
どんな積分にコーシーの定理を適用したんですか？

積分定理を用いてローラン展開の係数を求めるなら、
tan z = ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n の両辺を
z = π/2 を囲む閉路で積分して、
∮{ tan z }dz = ∮{ ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n }dz
　　　　　　= ∑[n=-∞→+∞] a(n)∮{ (z-π/2)^n }dz
　　　　　　= a(-1)・2πi です。
他の n について求めたいなら、任意の整数 k について
∮{ (tan z)/(z-π/2)^(k+1) }dz
　　　　　　= ∮{ ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n/(z-π/2)^(k+1) }dz
　　　　　　= ∑[n=-∞→+∞] a(n)∮{ (z-π/2)^(n-k-1) }dz
　　　　　　= a(k)・2πi です。
この式の右辺は、g(π/2) でも ∮g(z)dz でもありません。

k ≦ -2 のときは (tan z)/(z-π/2)^(k+1) が
z = π/2 の近傍で正則になるので、コーシーの積分定理より
∮{ (tan z)/(z-π/2)^(k+1) }dz = 0 です。
よって、k ≦ -2 のとき a(k) = 0 になります。
だからこそ、tan のローラン展開 ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n が
∑[n=-1→+∞] a(n)(z-π/2)^n と書けたのです。

しかし、この話は、k ≧ -1 の a(k) にはあてはまりません。
(tan z)/(z-π/2)^(k+1) が z = π/2 で正則ではないので。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/08 14:30

② 質問が意味不明です。

「g(z) の式が発散する時は」というのは、何が発散する話なのでしょうか？
g(z) が z = π/2 を特異点に持つ場合は... という話のような気もしますが、
g(z) = (z-π/2)tan z であれば、そうはなりません。

g(z) = (tan z)/(z-π/2)^(k+1) に話が変わっているのかな？
話の途中で断りなく変数名や関数名の意味が変わるのも、
あなたの議論の毎度の特徴ですね。

これがもし、g(z) = (tan z)/(z-π/2)^(k+1) の lim[z→π/2] g(z) が発散するとき
という意味だったとしても、依然として
「a(n)の式は発散するg(z)を含む為、a(n)の式は発散」は意味不明です。
何の話なんでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>>「g(z) の式が発散する時は」というのは、何が発散する話なのでしょうか？

n≧-1の時、かつz=1の時、g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の分母が0になる為、発散すると書いたのです。

お礼日時：2024/05/08 15:25

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/08 14:49

←補足 05/08 12:45

Res[tan(z),π/2] = lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z) は合っています。

←補足 05/08 14:20
もう何度この説明を繰り返したことだろう...
例によって「テイラー展開の公式」という言葉が何を指しているかが
曖昧なため、話がややこしくなってはいますが、要するに、
f(x) の x=a を中心とするテイラー展開の
x^n 項の係数は { (d/dx)^n f(x) |_x=a }/n! だ...ということに尽きます。

tan z は z=π/2 に 1 位の極を持ち、
(z-π/2)tan z は z=π/2 で正則です。
よってテイラー展開できて
(z-π/2)tan z = Σ[m=0→∞] b(m) (z-π/2)^m,　　←[B]
b(m) = { (d/dx)^m (z-π/2)tan z |_x=a }/m! と書ける。

tan z のローラン展開を tan z = ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n　←[A]
と置いたのなら、[A]と[B]の式を比較して
n ≦ -2 のとき a(n) = 0,
n ≧ -1 のとき a(n) = b(n+1) となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

Res[tan(z),π/2] = lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z)は正しいとの事ですが、
f(z)=tan(z)の式はa(n)の正しい式は
a(n)={1/(n+1)!]lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/ 2)tan(z)ではないのでしょうか？


>> f(x) の x=a を中心とするテイラー展開の
x^n 項の係数は { (d/dx)^n f(x) |_x=a }/n! だ...ということに尽きます。

どうやってx^n 項の係数を求める式が { (d/dx)^n f(x) |_x=a }/n!だとわかったのでしょうか？
詳しい過程の計算を教えて下さい。

お礼日時：2024/05/08 15:43

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/08 16:54

←補足 05/08 12:45

Res[tan(z),π/2] = lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z) は合っているのだけれども


Res[tan(z),π/2]

から

lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z)

を導いているのではありません

tan(z)のローラン展開の-1次項の係数

a(-1)=Res[tan(z),π/2]

と

(z-π/2)tan(z)のテイラー展開の0次項の係数(定数項)

a(-1)=lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z)

が同じだから

Res[tan(z),π/2] = lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z)

となるのです

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/08 18:54

←お礼 05/08 15:43

とりあえず、No.7 に例によっていつもの
誤字があったので、訂正：
俺も毎度しょーがないね。

f(x) の x=a を中心とするテイラー展開の
(x-a)^n 項の係数は { (d/dx)^n f(x) |_x=a }/n! だ...ということに尽きます。

tan z は z=π/2 に 1 位の極を持ち、
(z-π/2)tan z は z=π/2 で正則です。
よってテイラー展開できて
(z-π/2)tan z = Σ[m=0→∞] b(m) (z-π/2)^m,　　←[B]
b(m) = { (d/dx)^m (z-π/2)tan z |_x=π/2 }/m! と書ける。

tan z のローラン展開を tan z = ∑[n=-∞→+∞] a(n)(z-π/2)^n　←[A]
と置いたのなら、[A]と[B]の式を比較して
n ≦ -2 のとき a(n) = 0,
n ≧ -1 のとき a(n) = b(n+1) となります。

それはさておき、
＞ どうやってx^n 項の係数を求める式が
＞ { (d/dx)^n f(x) |_x=a }/n!だとわかったのでしょうか？

テイラー展開すら理解していないなら、ローラン展開に手を出すのは
ちょっと早過ぎる。高校数III の教科書に戻って、平均値定理から
やり直したほうが結局早いと思う。急がば廻れだ。

f(x) = Σ[n=0→∞] c(n) (x-a)^n の両辺を k 回微分すると、
(d/x)^k f(x) = Σ[n=k→∞] c(n) nPk (x-a)^(n-k).
ここに x=a を代入すると、
{ (d/x)^k f(x) ｜_x=a } = c(k) kPk.　；右辺はΣの n=k の項だけになる。
よって、c(k) = { (d/x)^k f(x) ｜_x=a }/kPk.
ｋPk = k! は解るよね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
最後に書いて頂いた計算においては途中の計算までは理解できました。
しかし、
なぜｋPkがk!と置けるのかわかりませんでした。
どうかｋPkがk!と置ける理由を教えて下さい。

お礼日時：2024/05/09 03:38

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/09 10:39

＞ どうかｋPkがk!と置ける理由を教えて下さい。

そこから？

P の定義は
nP0 = 1,
nPk = nP(k-1)・(n-k+1).
雑に書くと
ｎPk = k・(k-1)・(k-2)・…・(n-k+1)
ってことだから、
kPk = k・(k-1)・(k-2)・…・1 = k！