不等号について

数学の不等号について勉強してるのですが、なぜ複数の不等号の時に、＞、＜の向きをそろえないといけないのですか？論理的にそろえなくても成り立つと思うのですが？？
だれかお願いします。

No.3 回答者： frage 回答日時： 2013/08/17 22:20

No.1の方が云われるとおりです。

No.1の方に対して僭越ですが、具体的な数値で考えてみましょう。数学的な厳密性が欠けているかもしれませんが、説明用としてお許しください。

1.
a = 1, b = 2, c = 3　と仮定しましょう。

すると、1 < 2ですからa < b が成り立ち、2 < 3ですから b < cが成り立ちます。また 1 < 3ですからa < cも成り立っています。つまり a (= 1) < b (= 2) < c (= 3)　ですので、a < b < cという式にあてはまります。すなわち、a < b < cは、a < bと、b < cと、 そしてa < cとをまとめて表していることになります。

2.
つぎに、a = 1, b = 3, c = 1　と仮定しましょう。

すると、1 < 3ですからa < b が成り立ち、3 > 1ですから b > cが成り立ちます。これを、bを真ん中に置いてまとめて表示すると、a (= 1) < b (= 3) > c (= 1)　ですので、a < b > cという式にあてはまりますが、前提からa = c です。

3.
ついで、a = 1, b = 3, c = 2　と仮定しましょう。

これらa, b, cの大小関係は、やはり a < b > cという式にあてはまりますが、前提からa < c です。

4.
さらに、a = 2, b = 3, c = 1　と仮定しましょう。

これらa, b, cの大小関係は、a < b > cという式にあてはまりますが、前提からa > c です。

5.
上の例2, 3, 4から分かるように、a < b > cという式は、a = c, a < c, a > cのどの場合でも当てはまる例を無数に含んでいる（aとcの大小関係が決められない）、ということを意味します。これが即ちNo.1の方が云われる「a < b > c ではa < b, b > c しかわからない。」ということです。

しかしa < b < cと不等号の向きがそろっていれば、上記1.の例のようにa < cと言うことができるわけです。

6.
このことから、全ての大小関係が決まるようにするために、不等号が複数並ぶ式では不等号の向きを同じにする、ということが求められるものと考えます。異なった向きの不等号を持つ式を非論理的と表現してよいのかどうかは分かりませんが、少なくとも、数学的に成り立つ式（何らかの数学的な意味付けを示す式）ではないと言えるでしょう。

以上ご参考にして頂ければ幸いです。

No.2 回答者： jukunendansi 回答日時： 2013/08/17 11:53

　教科書での書き方　だと思いますが。

　難しい複素数を初めて習うので　向きを統一して書いて　余計な苦労はさせないようにしています。

　論理がわかる人には　それこそ余計なおせっかいではあるのですが。

No.1 回答者： ihsustujik 回答日時： 2013/08/17 11:46

ａ＜ｂ＜ｃ　ならば、

ａ＜ｂ，ｂ＜ｃはもちろん、ａ＜ｃであることも明らかだけれど・・・

ａ＜ｂ＞ｃでは・・・

ａ＜ｂ，ｂ＞ｃしかわからない。

こういうあたりまえな質問？