連立方程式はなぜ解ける？

Question

中学で連立方程式を習って以来、
「文字2つに式2つだから解けるよね。」とか、「未知数3つに式が3つだから解けるね。」などと当たり前のように学校や塾で言われてきました。
初めは戸惑った記憶があるのですが、何度も言われたり自分で連立方程式を解くうちに「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解けるのか」ということを経験的に納得してきました。
しかし思い返すと、（私の記憶が正しければ）、学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。」なでという記述はなかったと思います。
基本的ながら、数学の一種のセンスとして重要なものの1つだと私は思うのですが、なぜ教科書には載っていないのですか？
また、私が中学生に連立方程式の解き方を教えている際に、「文字数2つに式2つだから解けるね。」と言った時、「なんで？」と言われたらなんと答えたらいいのでしょうか？
（「経験的に。」としか答えられません・・・。）
また、（多分あると思いますが）式と未知数の数が同じでも絶対（どんなに数学が発達しても）解けない連立方程式というのはあるのでしょうか？
尚、当方は高校数学までしか知識ありません・・・。

noname#111804 · Accepted Answer

しかし思い返すと、（私の記憶が正しければ）、学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。」なでという記述はなかったと思います。

************************************************
たしかに、ありませんね。
文部省は教科書検定をいつもやっているので
来年は追加ですね。

記述がないその理由は、線形代数学に委ねなければならないからです。
したがって、中学校で、その理由を説明することはできません。
（高校でも無理です。）
しかし、その結果を文章で書き込むことは可能だし、
必要と思われます。

行列式では、クラーメルの公式があります。
行列式の研究は２元２式や３元３式の連立方程式の
研究から始まったものと思われます。

stomachman · Answer

同類項（おなじ文字の項）をまとめて整理した上で、「文字３つに式２つだから解けっこないよね」なら言えますよね。「文字２つに式２つだから、解けそうだ（解けるかも知れない）ね。なら、やってみよう」でも良い。

> 「文字2つに式2つだから解けるよね。」とか、「未知数3つに式が3つだから解けるね。」

は仰るとおり経験則でしょう。数学としては正しくないが、中学生用問題集への対処法としてこの経験則が成り立ってしまう。で、解けない例に出会ったときに、可哀想に大混乱して「数学なんかきらいだー」
　2元2式の場合だけでもいいから、どなたかも仰っているようにグラフを使った意味付けを教えれば、解けない場合があって、それはどういう場合だ、ってことが中学生でも充分直感的に分かるでしょうに。

onigiri_3 · Answer

すごくいい質問だと思いました。以下の私の主観的な考えになります。

>>「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。」
確かに、この呪文のような文章は、聞いたことがあります。
これは、学校で初めて、１次方程式から、連立方程式を学習するにあたり、
問題の答えが必ず１つ存在します。・・・のような、
連立方程式は、必ず１つの解が存在するという保証を表現しているものだと思います。
なので、学校の先生や塾の先生が、伝統的に伝えられてきた定石になってしまった。

逆に、一般的な公立中学校であれば、
 x + 3 y = 1 
2x + 6 y = 4
を解けのような問題は、出題されなかったと思います。

これは、「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。」
であることに反するつまり、これが、教科書に記載されない（記載しない）理由になるのではないかと。

また、以下の問題は、高校レベルとなりますが、
 x + y +  z =  6・・・Ａ
3x + y + 5z = 10・・・Ｂ
この方程式の解は、z = t （t : 実数）とおいて、
Ｂ－Ａより、2x + 4t = 4　　　x = 2 - 2 t
Ａに代入して、2 - 2t + y + t = 6　よって、y = t + 4
（x , y , z） = （ 2 - 2 t , t + 4 , t）ただし、t : 実数
となり、適当な t を代入すれば、x , y , z の解は無数に存在することになります。
これも、「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。」
であることに反してる。

つまり、中学時代でかつ、連立方程式を学習し始めた時にしか聞くことができない説明と
思えばいいと思います。

bgm38489 · Answer

中学で習わなかったのは、２元１次しかやらなかったからだと思います。つまり、連立方程式というものは、式が二つのもの、という風な暗黙の了解があったと思います。私は、小５で３元、４元、５元…と公文式でやっていたので、冷ややかな目で見ていたのを覚えています。
未知数と式の数の関係に関しては、未知数がｎ個の二つの式から、ある未知数の係数をそろえて加減することによって、未知数ｎ－１個の一つの式ができる、ということを教えてやればいいでしょう。勿論、中学生レベルに噛み砕いてね。だったら、最終的に、未知数ｎ個のｎ個の式から、未知数１個の一つの式が生まれる（２x＝８など）。すると、その未知数の値は求まる。それを繰り返せば、全部の値が求まるのだ、という具合にね。

neKo_deux · Answer

グラフを描いてみるとか。

> 「文字2つに式2つだから解けるよね。」

平面上で、2本の直線や曲線の交差する点を求める問題に置き換え出来ます。
2本の直線が平行だったとか、交差する点が無い場合には、解けません。

> 「未知数3つに式が3つだから解けるね。」

ちょっと難しいですが、空間内で、3枚の平面の交点を求める問題になるかと。

notnot · Answer

高校数学までの知識と言うことは、連立一次方程式と思って良いですよね。
変数をx1,x2,x3,...とすると、一次式ならx1を含んだ最初の式をx1=(x1を含まない式)の形に変形することができます。そのx1を他の式のx1に代入すると、x1が消えて変数が1つ減ります。式を1つ使ったので式も1つ減ります。これを繰り返すと最後は1変数の式が1つできるので解けます。

「解ける」というのを、xやyの値が求まるという意味だとすると、
解けないケースは、他の式から導ける式が含まれているケース。
2x+3y+z=8, x+y+z=15, 3x+4y+2z=23
変数3つ式3つですが、1つめの式と2つめの式の両辺を足すと3つめの式になるので、解けません。正確には解が一意に定まらない。
あるいは、
x+y=0, x+y=10
これを満たすx,yは無いので、解けません。正確には「解無し」と解ける。

「方程式を解く」という意味を広く考えれば、「一意に定まらない」も「解無し」もそうわかったということが解けたと言うことです。

中学の教科書にないのは、こういういろいろなケースもあるからでしょう。

koko_u_u · Answer

>学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。」
>などという記述はなかったと思います。

中学の教科書にそこまでの「一般化」を求めるのは酷だと思います。

ただ、私が中学生の時は二元二次方程式については、解が唯一である場合、無数にある場合、
存在しない場合の考察が記載されていたと記憶しています。

>「文字数2つに式2つだから解けるね。」と言った時、
>「なんで？」と言われたらなんと答えたらいいのでしょうか？

文字数一つに式一つの場合を考察するよう答えて下さい。
数学では、簡単な場合に還元するにはどうすればよいか、という発想が重要です。

連立方程式はなぜ解ける？

しかし思い返すと、（私の記憶が正しければ）、学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。

同類項（おなじ文字の項）をまとめて整理した上で、「文字３つに式２つだから解けっこないよね」なら言えますよね。

すごくいい質問だと思いました。

中学で習わなかったのは、２元１次しかやらなかったからだと思います。

グラフを描いてみるとか。

高校数学までの知識と言うことは、連立一次方程式と思って良いですよね。

>学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ（あるいは式の方が多い）ならば解ける。

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