定積分の絶対値つき(高2レベル）

連日失礼します。。。
次の問題の解説お願いします。

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(1) ∫ |x-2|dx (2) ∫ |x^2-x|dx
0 -1

2
(3) ∫ (|x|+1)^2dx
0

そもそも絶対値がつくとどのように計算してよいのかわからないのです・・・。

No.2 ベストアンサー 回答者： aqua_oka 回答日時： 2003/03/25 20:46

＃１の者です。

積分範囲（１）０～４（２）－１～１（３）０～２であろうと仮定してお答えします。
(1)∫-(x-2)dx+∫(x-2)dx=4　　積分範囲０～２と２～４
(2)∫(x^2-x)dx+∫-(x^2-x)dx=1　積分範囲－１～０と０～１
(3)∫(x+1)^2dx=26/3 積分範囲０～２
グラフを書いてみてｘ軸より上側に倒して計算すれば良いのです。

No.6 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/03/26 16:39

kenta0102さん、こんにちは。

絶対値がついているものを積分するのは、難しいですね。
まず、絶対値をついたものを、グラフにして考えてみるといいですよ。

＞(1) ∫ |x-2|dx ｘは０から４まで積分

これは、y=|x-2|のグラフを考えてみればいいです。
このグラフは、x≧2のとき、y=x-2
x＜2のとき、y=-x+2
というグラフになることは、いいでしょうか。

したがって∫|x-2|dx (x:0→4)=∫(-x+2)dx (x:0→2)+∫(x-2)dx(x:2→4)
と、分解して考えればいいですね。
計算していくと、
[-x^2/2 +2x](x:0→2) +[x^2/2 -2x](x:2→4)
=2+2=4
となることが分かります。
（注）](x:0→2)これは、積分区間が、ｘが０から２まで、ということを書いています。

＞(2) ∫ |x^2-x|dx

同様に、絶対値のついたグラフで考えてみましょう。
y=|x^2-x|=|x(x-1)|
ですから、これは、y=x(x-1)という二次関数を
ｙ軸で折り返して、負の部分を正にしたグラフになることが分かると思います。
∫ |x^2-x|dx(x:-1→1)=∫(x^2-x)dx(x:-1→0) +∫(-x^2+x)dx(x:0→1)
=5/6+1/6
=1
と求められます。

＞(3) ∫ (|x|+1)^2dx

これも同様です。まずは、二乗の中身を展開してから。

∫ (|x|+1)^2dx =∫(x^2+2|x|+1)dx　・・・（☆）

ここで、y=|x|のグラフは、y=xのグラフを、ｙ軸で折り返して
正の部分にもってきたグラフになります。
（x<0のとき、y=-x,x≧0のとき、y=x）

ですから、（☆）を、０から２まで積分すると
∫ (|x|+1)^2dx =∫(x^2+2|x|+1)dx
=∫(x^2+1)dx(x:0→2) +2∫|x|dx(x:0→2)
=[x^3/3 +x](x:0→2) +2∫xdx(x:0→2)
=14/3+4
=26/3

と答えが求められます。
頑張ってください！！

No.5 回答者： springside 回答日時： 2003/03/26 07:17

#4です。

(1)は、xが0→4ということなので、最後の部分は、

∫[0→4]|x-2|dx
=∫[0→2]|x-2|dx + ∫[2→4]|x-2|dx　（←Ａ＋Ｂに分割した）
=∫[0→2]-(x-2)dx + ∫[2→4](x-2)dx
となります。

私が書いた、「絶対値の中が０未満なら、マイナスを付けて絶対値記号を外す。絶対値の中が０以上なら、そのまま絶対値記号を外す。」という機械的なやり方と、#3の方が書かれている「面積としてとらえる」というやり方の両方をご理解し、適当に使い分けるとよいと思います。
（私の場合、まず機械的にできないか？と考えます。できればそれでＯＫで、できなければ、面積としてとらえるとうまくいかないか？と考えます。）

No.4 回答者： springside 回答日時： 2003/03/26 07:10

>>そもそも絶対値がつくとどのように計算してよいのかわからないのです・・・。

とありますが、難しく考える必要はありません。
要するに、「絶対値の中が０未満なら、マイナスを付けて絶対値記号を外す。絶対値の中が０以上なら、そのまま絶対値記号を外す。」ということです。絶対値の中の符号が変化する場合、０未満の部分と０以上の部分に分割します（そうしないと絶対値記号を外せない）。

具体的にやってます。xが変化する範囲の中で、絶対値記号の中の式が「０未満の部分（Ａ）」と「０以上の部分（Ｂ）」に分割し、それぞれの部分で絶対値記号を外してやればＯＫです。（Ａの部分はマイナスを付け、Ｂの部分はそのまま）

(1) ∫[1→4]|x-2|dx
xは、1から4まで変化しますが、
　・xが1から2まではx-2＜0　（←Ａの部分です）
　・xが2から4まではx-2≧0　（←Ｂの部分です）
ですね。ということは、
　・xが1から2までは|x-2|=-(x-2)
　・xが2から4までは|x-2|=x-2
ということなので、
∫[1→4]|x-2|dx
=∫[1→2]|x-2|dx + ∫[2→4]|x-2|dx　（←Ａ＋Ｂに分割した）
=∫[1→2]-(x-2)dx + ∫[2→4](x-2)dx
です。

(2),(3)も同様にできます。

No.3 回答者： chu-chan 回答日時： 2003/03/26 00:22

積分は、つまると結構ややこしくなりますよね…。

　考え方として……

※一般的な積分式
　α
∫　F(ｘ)ｄｘ……（1）【但し、F(ｘ)＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）】
　β

Step1
　『（1）式の意味するところ　＝　グラフ上のｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の間にできた面　積を”α～β　”の間で集めてくること』という基本定義に、たち帰る。
Step2
　その上で、今回はF(ｘ)が絶対値で表現されていることに注意しつつ、グラフを書
　いてみる。
Step3
　例えば、問いの（1）であれば、ｘ＝2で折れ曲がるＶ字型の曲線グラフになりま
　す。
　ここで、『｜ｘ－2｜』は、グラフ上では、「ｆ（ｘ）＝－ｘ＋2…（2）」と、
　「ｆ（ｘ）＝ｘ－2…（3）」の2式で構成されるものであることが、判明しまし
　た。（但し（2）式はｘ＜2の時、（3）式はｘ≧2の時）
　この時、ｇ（ｘ）に相当するのは見えませんが、『ｇ（ｘ）＝0』ということに気
　が付くのも1つのツボかもしれません。
　続いて、Step1で確認したとおり、『グラフ上のｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の間にできた
　面積を”α～β　”の間で集めてくること』を考えましょう。
　これは、ｆ（ｘ）が2式存在するからには、2つ必要ということになります。
　
　＝ｆ（ｘ）が（2）式の場合＝
　α＝2　β＝0　だから、面積は三角形。Ｓ＝2×2×0.5＝2

　＝ｆ（ｘ）が（3）式の場合＝
　α＝4　β＝2　だから、面積は三角形。Ｓ＝2×2×0.5＝2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　4
　∴　Ｆ（ｘ）ではＳ＝2＋2＝4　⇒　∫ |ｘ－2|ｄｘ　＝　4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　0
　以下の問いも、この考え方でできると思いますよ！！
　説明うまくできてたかなぁ？
　分かりにくかったら、言ってください…（汗）。

No.1 回答者： aqua_oka 回答日時： 2003/03/25 20:33

積分範囲が分からないので補足をお願いします

この回答への補足

積分範囲がずれてしまいました、ごめんないさい。。。
(1)4～1 (2)1～-1 (3) 2～0 上の微妙なとこに書いてある数字です。
どうぞよろしくお願いします！

補足日時：2003/03/25 20:35

この回答へのお礼

補足の補足です。ごめんなさい(1) 4～0です。ホントにごめんなさい

お礼日時：2003/03/25 20:39