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★kを定数とするときxの方程式(k^2-1)x^2+2(k-1)x+2=0の解の種類を判別せよ。
(答)-3<k<-1,-1<k<1のとき異なる2つの実数解
  k=-1のとき1つの実数解
  k=-3のとき重解
  k=1のとき解はない
  k<-3,1<kのとき異なる2つの虚数解

私はk=-3,1のとき重解 -3<k<1のとき異なる2つの実数解 k<-3,1<kのとき異なる2つの虚数解 と出たのですが…
説明お願いします。

A 回答 (3件)

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(答)-3<k<-1,-1<k<1のとき異なる2つの実数解
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(k^2-1)x^2+2(k-1)x+2=0・・・・・・・(1)
の判別式は
D=(k-1)^2-2(k^2-1)
=(-k-1)(k-1)>0
より
1>k>-3であるがx=-1は除く。(2時間数でなくなるので。)
故に
-3<k<-1、-1<k<1のとき異なる2実根を持つ。

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(答)k=-1のとき1つの実数解
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k=-1のとき(1)式は
-4x+2=0となり1つの実数解。

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(答)k=-3のとき重解
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K=-3のとき(1)式は
8x^2-8x+2=0となり
x=1/2の重解。


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(答) k=1のとき解はない
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k=1のとき(1)式は
+2=0となり解はない。


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(答)k<-3,1<kのとき異なる2つの虚数解
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k<-3、1<kのとき
D=(k-1)^2-2(k^2-1)
=(-k-1)(k-1)<0
となるので異なる2つの虚数解
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(k^2-1)x^2+2(k-1)x+2=0 → (k+1)*(k-1)*x^2+2(k-1)x+2=0。



x^2の係数に、先ず、注意する。同時に、k-1が1次と2次の係数に共通している事も注意する。

(1)k+1=0の時、x=1/2 であるから 実数解は1個。
(2)k-1=0の時、2=0となるから、解はない。

ここで、初めて、方程式が2次である事に進める。
(k+1)*(k-1)≠0の時、判別式=-(k-1)*(k+3)より
(3) -(k-1)*(k+3)>0の時、k+1≠0という条件を加えて 異なる2つの実数解
(4) -(k-1)*(k+3)=0 →(k-1)≠0より、k+3=0の時 重解。
(5) -(k-1)*(k+3)<0の時 異なる2つの虚数解。
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判別式を使うには、この方程式が2次方程式であることが前提となります。


この問題の場合、2次の係数がk^2-1であり、これが0の時は与えられたものが2次方程式でなくなってしまいます。
ですからk^2-1=0の場合とk^2-1≠0の場合を分けて考える必要があります。
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