No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1の回答者さんの線に沿ってやってみます。
(平面上を)円運動をしているので、遠心力以外に向心力を生じさせている中心へ向かう力が懸かっているので、それをポテンシャル・エネルギーU(r)から考えるとして、rとθを使った極座標で運動方程式を立てる。運動方程式は次の二式の連立になります。
m(dr^2/dt^2)=-(dU/dr)+mr(dθ/dt)^2
(d/dt)(mr^2(dθ/dt))=0
第1式の右辺第1項はポテンシャル・エネルギーによる中心力、第二項は遠心力。第2式は結果的に角運動量の保存を表している。この第2式より、
L=mr^2(dθ/dt)=m(r0^2)ω
Lは一定な角運動量。これを使って第1式の(dθ/dt)を消去すると、
m(dr^2/dt^2)=-(dU/dr)+mr(L/mr^2)^2
整理して、
m(dr^2/dt^2)=-(dU/dr)+(L^2/mr^3)
この右辺はつりあいの半径r=r0では、ちょうど0になっている。第1項はマイナス、第2項はプラスでr=r0で0となっているが、
r0 --> r0+δr
で(δr>0のとき)マイナスになれば、安定となる。(δr<0のとき)プラスになれば、安定となる
(時間と共に成長しない。)この右辺をr=r0のまわりで δr で展開すると、
-(dU/dr)+(L^2/mr^3)=-(dU/dr)_r0-{(d^2U/dr^2)_r0}*δr+(L^2/m(r0^3))-3(L^2/mr0^4)*δr
となるが、第1項と第3項はr=r0で打ち消しあう、よって、
-(dU/dr)+(L^2/mr^3)=-{(d^2U/dr^2)_r0}*δr-3(L^2/mr0^4)*δr<0
[-{(d^2U/dr^2)_r0}-3(L^2/mr0^4)]*δr<0
ここでの角運動量Lの値は、L=m(r0^2)ωを使う。
間違いがあるかもしれませんので、自分で納得のいくように、確かめてください。最初の運動方程式2式はオイラー・ラグランジュの方法で求めると簡単です。
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