数学Ａ 順列と組み合わせの違い？

数学Ａの集合と場合の数という分野にでてくる、
順列と組み合わせの違いがわかりません。
教科書には「順列：n個の異なる物からr個とった順列→nＰr」
「組み合わせ；n個の異なる物からr個を取り出して作った組み合わせ→nＣr」
と表記されているんですけど、同じに思えちゃえます。
テストで、文章題の問題がでても順列か組み合わせか分からないので
ＣとＰどっちを使うか分からなくなってしまいます。
お願いします！

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2009/10/10 22:04

こんばんは。

簡単ですよ。

競馬の馬券で、「三連勝単式」というのと「三連勝複式」というのがあります。

馬Ａ～馬Ｊの１０頭の馬が出走するとして、
三連勝単式では、
「１位はどの馬？、２位はどの馬？、３位はどの馬？」という予想をします。
たとえば、１位＝馬Ｇ、２位＝馬Ｈ、３位＝馬Ｂ　と予想するということです。
これが「１０個から３個を選ぶ順列」です。
選び方の種類の数は、
１０×９×８　＝　７２０通り
です。
nＰr の公式に当てはめれば、
nＰr　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！
10Ｐ3　＝　１０！／（１０－３）！
　＝　１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１　÷　（７×６×５×４×３×２×１）
　＝　１０×９×８

三連勝複式では、
「１位～３位に入る３頭の馬は、どれとどれとどれ？」という予想をします。
たとえば、「ベスト３は馬Ｂ、馬Ｇ、馬Ｈの３頭で、順番は関係なし」と予想するということです。
これが「１０個から３個を選ぶ組み合わせ」です。
選び方の種類の数は、
１０×９×８　÷　（３×２×１）　＝　１２０通り
です。
nＣr の公式に当てはめれば、
nＣr　＝　ｎ！／｛（ｎ－ｒ）！ｒ！｝　＝　nＰr／ｒ！
10Ｃ3　＝　１０×９×８　÷　（３×２×１）


つまり、どの馬もだいたい同じ強さとして考えれば、
１０頭の場合、「三連勝単式」（順列）で当てるのは、
「三連勝複式」（組み合わせ）で当てるのより６倍難しいということになります。（当然ながら、順列で当てれば、その分もうけが多くなります。）


ご参考になりましたら幸いです。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/10/10 20:51

順列は、文字通り「順番に1列に並べる」ということです。

よって、並んだ順番も関係します。
また、並べるものはそれぞれ区別できるものになります。

それに対して、組み合わせは「グループ分け」のイメージになります。
「りんご5個とみかん3個を並べる」といった場合、個々のりんごやみかんは区別しません。
このようなときには、組み合わせを使います。

No.1 回答者： shintaro-2 回答日時： 2009/10/10 20:28

>テストで、文章題の問題がでても順列か組み合わせか分からないので

>ＣとＰどっちを使うか分からなくなってしまいます。

ＣとかＰとか文字で覚えようとするからわからなくなります。

理解が大切です
ＡＢＣとあって２つ選ぶ場合
順列では、ＡＢとＢＡは違うもの
組み合わせでは、ＡＢとＢＡは同じもの
だから
順列は３！＝３＊２＊１
組み合わせは３！／（２！＊（３－２）！）=３！
せいぜい、多いのが順列、ダブりを除くため割るのが組み合わせという覚え方でしょう。