二回微分

Cをzで二回微分するとき（二乗を^2で表しています）

∂^2C/∂z^2=(∂^2C/∂x^2)・(∂x/∂z)^2+(∂C/∂x)・(∂^2x/∂z^2)

となるのはなぜでしょうか？項が2つになるところがよく分かりません。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/10/17 09:42

#1さんとは、逆の表現になってしまうのですが。

「Cは zの関数であるが、その zは xの関数となっているから」だと思います。
Cが zの関数であれば C= C(z)と書けますが、
さらに zが xの関数であれば C= C(z(x))と書けます。

項が2つになるところですが、2回以上の微分は「分数」のようには扱えないところがポイントです。
∂^2C/∂z^2≠∂^2C/∂x^2 * ∂^2x/∂z^2

(1)まず、1階微分を計算します。
∂C/∂z= ∂C/∂x * ∂x/∂z

(2)これをさらに微分します。
∂^2C/∂z^2
= ∂/∂z(∂C/∂x * ∂x/∂z)
= ∂z/∂z * (∂/∂x)(∂C/∂x) * ∂x/∂z + ∂C/∂x * ∂/∂z(∂x/∂z)

ややこしい表現になってしまいますが、要は「積の微分」を使っているということです。

この回答へのお礼

積の微分をよかったんですね。ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/17 16:46

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/10/17 09:45

#2です。

すいません、表記ミスがありました。
(2)の最後の式で
＞= ∂z/∂z * (∂/∂x)(∂C/∂x) * ∂x/∂z + ∂C/∂x * ∂/∂z(∂x/∂z)

一番先頭の項は ∂z/∂zではなく、∂x/∂zです。
失礼しました。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/10/17 03:34

Cがxの関数であり、そのxがzの関数だからでしょう。