重なる確率の求め方

ある正方形面積X（例えば100cm2）の紙に
5個（正方形面積Y 1cm2）の穴がランダムに開いている
もう一つの正方形面積X（100cm2）の紙にも　
5個（正方形面積Y 1cm2）の穴がランダムに開いている場合

それらの紙を2枚重ねたとき　どれか一つでも穴が重なる確率はどのくらいになるか　算出方法を教えていただきたく．

No.4 回答者： osu_neko09 回答日時： 2009/10/30 11:36

穴の正方形が、紙の正方形と同じ向き（回転していない）として、

一枚目の紙をX1、２枚目の紙をX2とします。まず、穴がまったく重なっていない確率を考えて、１から引きましょう。
＃穴が端に近かったり、穴どうしが近かったりすると重なる確率が下がると思うのですが、計算上無視します。

穴の大きさが一辺1cmの正方形なので、X1の穴の左上隅を中心とする一辺2cmの正方形の内部(*1)に、X2の穴の左上隅が含まれれば、穴が重なっているとしてよいでしょう。

(*1)の面積は、ばらばらに開いている場合で20平方cm

穴の左上隅という条件から、正方形の右側、下側1cmの範囲には存在しないので、穴の左上隅が存在する範囲(*2)の面積は、（正方形の一辺の長さ－1cm）の二乗（例では81平方cm）

穴が重なっていない確率を考えると、X2に開いている穴の左上隅がすべて、(*2)-(*1)の面積に含まれればよいから、穴が重なる確率は（（(*2)-(*1)の面積）÷（(*1)の面積））の５乗(例では(61/81)の５乗、約0.242）を１から引いた値

ただ、これではX2に開いている穴が重なる確率を考慮していません。穴が開くと4平方cm分、穴の左上隅が存在する範囲が減るとして、
穴が重なる確率は（（(*2)-(*1)の面積-4i）÷（(*1)の面積-4i））の総乗(0<=i<=4)
（例では(61/81)*(57/77)*(53/73)*(49/69)*(45/65)、約0.199）を１から引いた値

ただ、これだと、X2に開いた穴が重なってはいけないからと除いた範囲に、偶然、(*1)の領域が含まれてしまうのを考慮していませんが、紙の端に穴があるのを無視した以上、こちらも無視することにいたします。

No.3 回答者： j38 回答日時： 2009/10/29 12:54

穴が開く場所は、1/(100*100)の確率だから違う気がする。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/27 22:54

穴の位置が1cm刻みではない場合は、＃１の回答は無視してください。

その場合は、大雑把に考えれば、
１つの穴が別の正方形の５つの穴と重なる確率は、1-4/100*5=80/100
なので、どれか一つの穴が重なる確率は、1-(4/5)^5

実際は、穴が端に近かったり、穴どうしが近かったりすると重なる確率が下がるので、1-(4/5)^5より小さくなるでしょう。

この回答への補足

１つの穴が別の正方形の５つの穴と重なる確率は、
1-(4/100)*5=80/100

上記（4／100)*5の考え方が判りません．
4というのは　どこから来たのでしょうか．５というのは穴5個
ということだと思うのですが．

補足日時：2009/10/28 22:00

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/27 22:37

すべての穴が別の正方形の穴と重ならない確率は、(95/100)^5

なので、どれか一つの穴が重なる確率は、1-(95/100)^5

この回答への補足

この回答の場合　紙の面積X　穴の面積Y　穴の数をNとすると

全ての穴が別の紙の穴と重ならない確率は
(X-(Y*N)/X)^N ということで良いのですか？

補足日時：2009/10/28 21:52