バネと微分方程式（基本？）

大学１年の者です。
物理演習で、初めて微分方程式を扱っているのですが、問題の途中でよく分からないところがありました。

問題は以下のようなものです。

自然長ｌ、ばね定数ｋの二本のバネと質量ｍのおもりを１個用意して、
下から、地面・ばね１・おもり・ばね２・手の順につなげた装置を作る。
バネ１が自然長になるときを初期状態とし、その状態を基準に
おもりの位置ｘ、手の位置ｙを定める。（上向き正）
一定の速度ｖで引き上げる（ｙ＝ｖｔ）とき、
おもりの運動方程式をたててそれを解き、x(t)を求めよ。

これを、次のように考えました。

運動方程式は　mx"=k(y-2x)　だから、（x"はｘの二階微分）
y=vtを代入して整理して、　x"+(2k/m)x=(kv/m)t　（１式）
このような形になったら、まず右辺が０のとき（同次式？）のｘを求めるといいらしいので
そうすると、A,Bを任意の定数として
x=AsinBt　（t=0のときx=0だからsinにした）
また、右辺が０でないとき（非同次、特殊解？？）
x=(v/2)t　で１式が成り立つので、
「同次式での一般解と特殊解の和が解になる」らしいので
x=AsinBt+(v/2)t　とおける。

ここまでは出来たのですが、定数Ａ・Ｂが求められません。
ただバネを引くだけなので、Ａ＝０になるのでは、とは思うのですが…
（Ａ≠０なら、おもりは上下に揺れながら上る？）
初期条件は任意のＡ・Ｂで成り立つし…

もしここまでの過程が合っていたら、定数の出し方のヒントをお願いします。
間違いがありましたら、教えてください。

分かりにくい長文ですみませんが、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ryumu 回答日時： 2003/05/11 02:02

補足読みました。

＞x(0)=0,y(0)=0　であり、質問にあるような運動方程式に行き着きました。

おそらくそう取ったのだろうなぁ・・・とは思っていました＾＾；

明らかに、ｘとｙの初期位置は異なるので、”同じ運動方程式”にｘとｙを含めるときは同じ座標系で記述しないとややこしいことになります（というか、解くのは無理でしょう）。
また、原点の取り方自体には触れられていないため、回答者が任意に決められるようになっていると思います。


＞　x'(0)はおもりの初速ということですよね？

そうです。
この場合、おもり自体は最初止まっていたので、

　x'(0)=0

となります。
では頑張って下さいね＾＾；

この回答へのお礼

原点をおもりの初期位置にしてみたところ、（Ｘ=l+(mg/k)+vt）
結局運動方程式は同じになってしまいましたが…
でも、x'(0)=0をヒントに定数が求められました！（おもりは突然動き出すわけじゃないんですよね）

結果は、
x(t)=(t-(m/2k)^(1/2)sin{(2k/m)^(1/2)}t)v/2
となりました。分かりにくい式でごめんなさい。
これなら、おもりがはじめに沈み込むこともないし、とりあえずは辻褄が合ったと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2003/05/11 18:51

No.1 回答者： ryumu 回答日時： 2003/05/10 02:15

ikeshiさんの回答をみたところ、座標の取り方に問題があると思います。

また重力の効果が抜けています。

ｔ＝０のときの、ｘ、ｙの初期値をまず知りましょう。
そのためには、座標系を決める必要があります（ここ大事です！！）

”地面を基準０”に決め、上を正としましょう。

すると、ｔ＝０のとき、ｘ＝ｌですね（バネ１が自然長だから）。

　ｘ（０）＝ｌ


次にｙの初期値、ｙ0を検討しましょう。
重力加速度をｇとします。

バネ１が自然長ｌの状態ですから、おもりに対してバネ１の力は働いていません。
従っておもりｍは、バネ２のみで吊られているとおなじなので、運動方程式（ただし加速度０）より

　０＝ｋ（ｙ0-２ｌ）-ｍｇ

つまり、

　ｙ（０）＝ｙ0=ｍｇ/ｋ＋２ｌ

となります。
従って、時間ｔ後のｙは、

　ｙ＝ｖｔ＋ｙ0＝ｖｔ＋ｍｇ/ｋ＋２ｌ

となります。

さて、実際に手で引っ張ったときのおもりの運動方程式は、

　ｍｘ”＝ｋ（ｙ-ｘ-ｌ）-ｋ（ｘ-ｌ）-ｍｇ


となります。
あとは、この方程式を解きｘ（０）、ｘ’（０）から積分定数が得られるはずです。

計算は・・・ちょっと面倒ですね＾＾；
細かいところは間違っているかも知れませんが、考え方はこれで良いはずです。
頑張って下さい。

この回答への補足

早速の回答、ありがとうございます。
言葉足らずで申し訳ないのですが、
問題文の条件が「ｘ・ｙはそれぞれの初期位置を基準にとる」
となっているので…
x(0)=0,y(0)=0　であり、質問にあるような運動方程式に行き着きました。

そこで、積分定数なのですが…
＞あとは、この方程式を解きｘ（０）、ｘ’（０）から積分定数が得られるはずです。
これをヒントに、x(0)から、B=(2k/m)^(1/2)が得られました。
しかしＡが求められません…。
x'(0)はおもりの初速ということですよね？
初速はどうなるのかが分からないのです。

補足日時：2003/05/10 08:39