次のベクトルの組は、それぞれR^3の基底になるかどうか判定せよ。

次のベクトルの組は、それぞれR^3の基底になるかどうか判定せよ。
(1)
(0)
(-1)
,
(0)
(1)
(1)
,
(3)
(4)
(5)
,
(0)
(1)
(0)

…という問題ですが、答えは「基底ではない」となっています。
しかし、任意のベクトル、例えば
(1)
(2)
(3)
を表したいときは上のベクトルの組に
(1)
(4)
(0)
(-2)
を掛ければ表現できますよね？
では、なぜ答えは「基底ではない」のですか？
3行目は常に0になるでしょうけど、
任意のベクトルが表現できさえすれば基底になるんじゃないですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/04 04:56

条件 (1) があることを確認できたなら、ok。

この例題は、ソレで完了です。

補足の文章は、♯3 も指摘しているように、
数学語で書けていないけれど。
(添字の書き方のことをいってるんじゃ
ないですよ。文字の意味を定義または説明せずに
使っていることが、異世界です。)

この回答へのお礼

今、ようやく解りました。
実は、条件(2)を満たしていても
条件(1)を満たせる組み合わせがあると思っていたんです。
例えば、三行目は(3,4,5)^Tではなく、適当に(2,5,7)^Tのようにすれば
1次独立になるかと思ったんですけど、そこにどんな数字を入れても
1次従属になることが判明しました。

スペースの問題があったので定義せずに変数を使ってしまいました。
スペースの都合上、これからも回答者さんのエスパー能力に頼る部分も出てくるかもしれませんが、
なるべく気を付けたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/04 14:55

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/04 02:15

c[1]～c[4] って何?

そして,
c[1]=-3c[3]
c[2]=-8c[3]
c[4]=4c[3]
ってどういう意味?
さらに「ちなみに」のところの a[1]～a[3] も何を指しているのか不明だ.

この回答への補足

ご存知とは思いますが、添え字です。
自分もc_1～c_4の方が分かりやすいと思うのですが
一般的にはc[1]～c[4]を使う方が正しいらしいです（、ある掲示板では）。

…という意味ではなく、c[1]～c[4]自体が何を指しているのか、と尋ねているのであれば
スカラーの係数です。質問中に出てきた任意のベクトル(1,2,3)^Tを表したいなら
c[1]=1
c[2]=4
c[3]=0
c[4]=-2
を代入すればよいはずです。

（a[1]～a[3]ではなく、a[1]～a[4]でした）
a[1]=
(1)
(0)
(-1)

a[2]=
(0)
(1)
(1)

a[3]=
(3)
(4)
(5)

a[4]=
(0)
(1)
(0)

そして、
c[1]=-3c[3]
c[2]=-8c[3]
c[4]=4c[3]
は、c[1]～c[4]を変数として上のベクトルの組で
立一次方程式を作って解いただけです。

補足日時：2010/01/04 02:41

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/04 01:48

その文章からは、おそらく、

「それぞれ」という語を削除すべき
なんだと思う。
それで、意味が通るようになる。

「基底」の定義は、必ず本で確認のこと。
任意のベクトルが一次結合で表せる
ことの他に、もう一つ条件がある。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「それぞれ」といっているけど1つしかないのは、
隣に他の問題も載っていたからです。

「基底」の定義
ベクトル空間Vのベクトルの組a[1], ..., a[n]が次の2つの条件を満たすときにVの基底という。
(1) a[1], ..., a[n]は1次独立である。
(2) a[1], ..., a[n]はVを生成する。

…ということで、(1)の条件では
c[1]=-3c[3]
c[2]=-8c[3]
c[4]=4c[3]
となり、1次従属だから「基底ではない」ということですか？

ちなみに、この問題だと
(2)の条件「a[1], a[2], a[3]がR^3を生成する」は一応満たしていますよね？

お礼日時：2010/01/04 02:26

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/04 00:56

「それぞれ」といっているけど 1つしかないのはなぜだろう.

さておき, 「基底」の定義を確認してください.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「それぞれ」といっているけど1つしかないのは、
隣に他の問題も載っていたからです。

「基底」の定義
ベクトル空間Vのベクトルの組a[1], ..., a[n]が次の2つの条件を満たすときにVの基底という。
(1) a[1], ..., a[n]は1次独立である。
(2) a[1], ..., a[n]はVを生成する。

…ということで、(1)では
c[1]=-3c[3]
c[2]=-8c[3]
c[4]=4c[3]
となり、1次従属だから「基底ではない」ということですか？

ちなみに、問題だと
(2)の「a[1], a[2], a[3]がR^3を生成する」は一応正しいですよね？

お礼日時：2010/01/04 01:33