No.2ベストアンサー
- 回答日時:
しまった。
寝ぼけていた。d が連続であることを示せば、
あとは一般論でいけますね。
d が連続であれば、逆写像 d~(-1) は、
点写像としては存在するとは限らなくても、
集合写像としては常に存在して、
(1) 開集合を開集合へ移す。
(2) 集合の包含関係を変えない。
…ことが示せます。
これにより、
Im d 上の近傍鎖と Dom d 上の近傍鎖は
一対一に対応して、d~(-1) は連結性を変化させません。
{ -1,1 }は、離散位相で二つの連結成分を持つ
ので、O(n) も、それに従うのでした。
No.1
- 回答日時:
まず、O(n) に位相を定義しないと
話が始まらない。
通常は、Mat(n,R) をベクトル空間 R~(n~2) と
見た場合のユークリッド位相を入れ、
O(n) には、その相対位相を入れる。
これにより、d は連続となる。
連続写像の定義に照らして
確認のこと。
連結集合の連続写像による像は、連結だから、
O(n) が、非連結で、少なくとも
d=1 の成分と d=-1 の成分に別れる
ことが判る。
行列式の値を計算してみれば、
d=1 の部分が、SO(n) に対応している。
d=1 部分と d=-1 部分が同相であることは
ほぼ自明だから、
あとは、SO(n) が連結であることを
示せば完了する。
それには、O(n) に導入した具体的な位相
に基づいた計算が必要。
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