この数学的な疑問に論理的説明は可能？？

１辺の長さがaの正四面体ＡＢＣＤがある。次の値をそれぞれaの式で表せ。
(1)Ａから△ＢＣＤに下ろした垂線ＡＨの長さ。

この問題の解き方について疑問を抱きました。

１まず、錘の頂点から底面に垂直に下ろした垂線は底面の中心につくのはなぜか？？
２四角形であれば、対角線と対角線の交わりが四角形の中心となるが、三角形の中心の定義は何か？？
３三角形の中心と重心は違うのか？？

数学に詳しい方または得意な方、すごい馬鹿な質問だと思いますが、よろしくお願いします。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/10 13:39

こんにちわ。

＞２四角形であれば、対角線と対角線の交わりが四角形の中心となるが、三角形の中心の定義は何か？？

四角形にこのような「中心」という定義はありません。
それとも、どこかにこのような説明があったのでしょうか？

「三角形の中心は？」とのことですが、同じように「五角形」や「六角形」にその定義は適用できますか？
となると、対角線の交点が一つだけでそれを「中心」とするのは、四角形しか言えませんよね。
この時点で一般的な定義ではないことになります。

頂点と重心が「真上と真下の関係」にあることを示すには、
・真上から見下ろした図（投影図）を描いて、各面が合同な三角形であることと正三角形が線対称かつ点対称な図形であることから示すことができます。
（先にみなさんが回答されている内容です）
・あとは、#3が書かれているようにベクトルを用いて表す
のどちらかになると思います。

この回答への補足

正四面体は、頂点を通る、底面に垂直な、ある平面について対称なのはよろしいでしょうか。
ここんとこがよくわかりません。
もう少し砕いて教えて下さい。

ちなみに、ベクトルは未習なのでわかりません。

補足日時：2010/01/10 18:27

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2010/01/09 21:05

Ａから底面ＢＣＤに下ろした垂線が下の左図のように左へずれた黒丸の位置についたとします（点線は∠Ｄの２等分線）。

この底面を時計回りに１２０°回転させたのが右図です。すると黒丸も１２０°回転します。

でも、この図は変です。底面は正三角形なので、どの頂点を上にしても黒丸は同じ位置に来る必要があります（Ｂ，Ｃ，Ｄは人間が便宜上つけた記号に過ぎません）。

「どの頂点を上にしても同じ位置に来る位置」とは、左図と右図を重ねたときに点線が交わる位置です。この位置は△ＢＣＤの重心に一致します。

No.3 回答者： yanasawa 回答日時： 2010/01/09 20:11

No.2です。

　中線や重心の定義は確認しなくてもいいですよね。

　正四面体は、頂点を通る、底面に垂直な、ある平面について対称なのはよろしいでしょうか。それが底面の中線を含んでいることはよろしいですね。対称面は３枚あることはよろしいですね。だから頂点の真下に重心があることはいいですね。

　それともベクトルで説明しなければならないのでしょうか。

この回答への補足

正四面体は、頂点を通る、底面に垂直な、ある平面について対称なのはよろしいでしょうか。
ここんとこがよくわかりません。
図を描いて説明お願いします

補足日時：2010/01/10 14:08

No.2 回答者： yanasawa 回答日時： 2010/01/09 17:38

　三角形や多角形に「中心」という概念はありません。

円にはありますが。したがって、(2)(3)は解答できません。
　今後「中心」を「重心」と読み替えさせていただきます。

　(1)ですが、正四面体を床に置き、それを真上から見た図を考えてください。それは遠近を無視すれば、正三角形の頂点と重心を結んであるように見えます。したがって、頂点から底面に垂線をおろすと、底面の重心につきます。
　それが重心かどうかは、正三角形が線対称な図形（対称軸が３本あります）であることから明らかです。

この回答への補足

yanasawaさん、その解釈は無理があるように思えます。
もう少し、論理的に説明できませんか？？

補足日時：2010/01/09 19:50

No.1 回答者： ponman 回答日時： 2010/01/09 17:35

正三角形のとき，重・外・内・垂心は一致