位相空間について

次の問題がわかりません。。

実数の集合Rにおいて、次の部分集合族Oを考える。
まずR,φ∈Oである。
U≠R,φのとき、U∈O⇔U＝R－A（A:有限集合）と定義する。
（１）Oが開集合系であることを示せ
（２）写像ｆ：（R,O）→（R,O）　ｆ（ｘ）＝ｘ^2は連続であることを示せ。
（３）写像ｇ：（R,O）→（R,O）　ｇ（ｘ）＝sin x　は連続ではないことを示せ。


（１）については
（）R、φ∈Oは定義よりOK
（）U１、U2∈O⇒U1∩U2∈Oは無限集合の積集合は無限集合
（）Wλ∈O⇒∪Wλ∈Oは無限集合の和集合は無限集合
な感じでよろしいでしょうか？

（２）はｆ（ｘ）に値域が０≦ｆ（ｘ）≦∞であるから任意のU∈Oに対してｆ‐1（U）は無限集合
（３）はｇ（ｘ）の値域が－1≦ｇ（ｘ）≦１であるから任意のW∈Oに対してｇ‐1（W）は有限集合
みたいな感じでよろしいのでしょうか？

解答や書き方がわからなくて困ってます・・・

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/24 18:49

＞（）U１、U2∈O⇒U1∩U2∈Oは無限集合の積集合は無限集合

＞（）Wλ∈O⇒∪Wλ∈Oは無限集合の和集合は無限集合
＞な感じでよろしいでしょうか？
だめです．きちんと定義に従ってください
そもそもOに属することと無限集合であることは
まったく違うことです．
＃無理数全体は無限集合だが，けっして実数全体から
＃有限集合をとりのぞくことでは得られない
＃したがって，無理数全体はOには入らない無限集合

したがって，
＞（２）はｆ（ｘ）に値域が０≦ｆ（ｘ）≦∞であるから任意のU∈Oに対してｆ‐1（U）は無限集合
これもだめです．
そもそも，値域がどうかかわっているのか不明（説明不足）．
きちんと，f^{-1}(U)を考えて，Oの定義に当てはめてください．

＞（３）はｇ（ｘ）の値域が－1≦ｇ（ｘ）≦１であるから任意のW∈Oに対してｇ‐1（W）は有限集合

これはもっとだめです．
値域のかかわりも不明（説明不足）だし，そもそも
本当にg^{-1}(W)はつねに有限ですか？
たとえばW=R-{0}とした場合，g^{-1}(W)は？
＃g^{-1}(R-{0})がわかれば「連続ではない」理由はみえるわけで
＃決して値域がどうこうということ話ではないことも見える．

この回答への補足

（１）をまずやってみました。

U1、U2∈OとするとA1、A2を有限集合として
U1＝R-A1,　U2＝R-A2と表せる。
U1∩U2＝（R-A1）∩（R-A2）
　　　　　＝R－（A1UA2）
A1UA2は有限集合なのでU1∩U2∈O

次に任意のλ∈Λに対してWλ∈Oとすると
Wλ＝R－Aλ（Aλは有限集合）
と表せる。このとき、
∪Wλ＝∪（R-Aλ）
　　　　＝R－∪Aλ
∪Aλは有限集合なので∪Wλ∈O


これで大丈夫でしょうか？

補足日時：2010/01/24 19:42

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

しばらく考えてまた補足の欄に考えを書こうと思うのでまたよろしくお願いします。

お礼日時：2010/01/24 19:31

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/24 20:47

＞（１）をまずやってみました。

一ヶ所間違いがあります．

＞∪Wλ＝∪（R-Aλ）
＞　　　　＝R－∪Aλ
＞∪Aλは有限集合なので∪Wλ∈O

∪と∩の取り違い．
有限集合の和集合は有限とは限らない．

この回答へのお礼

ありがとうございます！

（３）はW＝R－｛０｝としたときｇ‐1（Ｗ）＝Ｒ－｛ｎπ｝（ｎ＝０，１，２・・・）となり、｛ｎπ｝は無限集合となるのでｇ‐1（Ｗ）はＯに含まれないということでしょうか？

（２）なんですが、Ｗ＝Ｒ－Ａとしてｆ‐1（Ｗ）がＯに含まれることがうまくいえません・・・
しつこくてすみませんが、（２）についてヒントをいただけないでしょうか？

お礼日時：2010/01/24 21:01

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/24 21:41

>（３）はW＝R－｛０｝としたときｇ‐1（Ｗ）＝Ｒ－｛ｎπ｝（ｎ＝０，１，２・・・）となり、｛ｎπ｝は無限集合となるのでｇ‐1（Ｗ）はＯに含まれないということでしょうか？

そう．これでg(x)=sin(x)が
この位相において連続ではないことがわかる．
＃ある開集合Uに対して，
＃g^{-1}(U)が開集合ではないことを示せばいいから
本質は，sin(x)が周期関数だから，
有限個の点の逆像が無限集合になるということ．

(2)に関しても同様に具体的な開集合に対して
実際に逆像を求めてみればいいのです．
たとえば，U=R-{1}とかすると
f^{-1}={1,-1}でしょう．
だから，f^{-1}(R-{1}) = R-{-1,1}
y=x^2のグラフを描いてみればほとんど自明．
y軸上に有限個の点をとれば
それの逆像をx軸上に描ける．
そうすれば，この位相での任意の開集合の逆像が
どういう形になるか容易にわかります．

式で一気にかけば
U=R-{a1,a2,...,an} (a1,..ai <0, ai+1,...,an>=0)
に対して
f^{-1}(U) = R - ∪_{k=i,..,n} {x | x^2 = ak}
でしょ？

こういう問題は，題意を理解するために
簡単な具体例で少し計算するといいのです．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

すごくわかりやすかったです！確かに今考えてみれば周期関数だからそうなりますよね。具体例で計算すれば見えてくるんですね。。。
（２）についても参考にして自分なりにまとめてみたいと思います。

本当に助かりました！ありがとうございます！
お世話になりました。

お礼日時：2010/01/24 22:02