A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
2項定理から
(1+x)^n=nC0+nC1x+nC2x^2+・・・・+nC(n-1)x^(n-1)+nCnx^n
x=1で、2^n=nC0+nC1+nC2+・・・+nC(n-1)+nCn
x=-1で、0=nC0-nC1+nC2+・・・-nC(n-1)+nCn
辺々たすと 2^n=2(nC0+nC2+・・・+nCn)
両辺を2で割って
2^(n-1)=nC0+nC2+・・・+nCn
。
No.4
- 回答日時:
二項定理から、
(n-1)C0+(n-1)C1+(n-1)C2+・・・・+(n-1)C(n-1)=2^(n-1)
nが偶数のときは、上記の(n-1)Ckの項数は偶数個あるので、
最初と最後の項を除いて2つずつ足すと、
(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck=nCk
かつ、(n-1)C0=(n-1)C(n-1)=nC0=nCn=1
であることから、
(n-1)C0+{(n-1)C1+(n-1)C2}+{(n-1)C3+(n-1)C4}+・・・・+(n-1)C(n-1)
=nC0+nC2+nC4+・・・・+nCn
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