最大値を持たないことの証明

A＝｛a∈Q｜a＜√2｝
のとき，Aは最大値を持たないことを証明せよという問題なのですが，どのように証明したら良いでしょうか？
Qは有理数全体の集合です．

よろしくお願いします．

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/17 22:59

任意の正の実数には、それよりも大きい自然数が存在します。

これは、実数が実数であるための基本的な性質のひとつであり、
「アルキメデスの公理」と呼ばれます。

また、
自然数全体の集合の任意の部分集合には、最小値が存在します。
こっちは、自然数が自然数であるための基本的な性質のひとつであり、
「数学的帰納法」と呼ばれます。

これらを既知とすると、質問の定理が証明できます。

A の任意の元 q について、アルキメデスの公理より、
n > 1 / { (√2) - q } であるような自然数 n が存在します。

この n を使って、自然数全体の集合 N の部分集合
B = { k∈N　|　k/n > (√2) - q } を考えると、
数学的帰納法により、B にも最小値が存在します。
その最小値を m とします。

x = q + (m-1)/n と置くと、
x は、q < x < √2 を満たす有理数となっています。

任意の q に対して、このような x が存在するのですから、
A に最大値が存在すると仮定すれば、矛盾します。

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/04/17 22:40

これでいけそうです。

。
　　↓
　http://ysserve.int-univ.com/Lecture/NumberTheory …
>有理数の稠密性

任意の x∈Q, 0 < x に対して, y∈Q, 0 < y が存在して,
　0 < y < x
　　

No.3 回答者： t932 回答日時： 2010/04/17 21:36

背理法を使えばよいのではないでしょうか

かりに最大値が存在したとき、その有理数を xとすると これにニュートン法を１回使用して
y= x-（x*x－2）/(2*x)とすると yも有理数ですから
あとは√2-x>√2-y>0を示せばよいわけです。
x>1は自明ですの後半も簡単ですよ。　

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/04/17 13:17

>A＝｛a∈Q｜a＜√2｝

>のとき，Aは最大値を持たないことを証明せよという問題なのですが，どのように証明したら良いでしょうか？
>Qは有理数全体の集合です．

[命題]
　任意の ao∈A について、
　　0 < bo < (√2 - ao)
　を満たす有理数 bo が存在する。

これが証明できれば、原題を証明できそうですね。
　　

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/04/17 13:04

流行なのか，この問題(see No.5831248)

補題として，
「任意の実数に収束する単調増加な有理数列が存在する」
って，これまた最近のここの質問にあったものを使えば
ほとんど自明．