材料力学についての質問です。

材料力学についての質問です。

(1)均質な等方性材料からなる薄い平板が、ｘｙ平面内にある。この平板が、ｘｙ平面方向の荷重を受けている。ある点A（ｘ、ｙ）におけるｘ方向のひずみεｘ、y方向のひずみがεｙであるとき、x方向の応力σｘ、y方向のσｙの組み合わせは？縦弾性係数はE、ポアソン比ｖとする。

(2)薄い平板に、x方向に引張応力150Mpa、ｙ方向に圧縮応力30Mpaが作用して、平面応力状態となっている。この平板に生じる最大せん断応力は？？


(3)直径20mm、横弾性係数81Gpaの中軸丸棒に、長さ1ｍにつきπ/180radのねじり角が生じている。丸棒に応じているねじり応力は？


(4)両端が回転端である柱Aのオイラーの座屈荷重Paと、一端が固定端、多端が自由端である柱Bのオイラー座屈荷重Pbの比は？柱A,Bの長さ、縦弾性係数、断面2次モーメントは等しいもの。


どうかお願いします。

No.1 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/06/27 01:52

(1)平面応力状態(σz=0)とすると、

εx=(1/E)*(σx-ν*σy)
εy=(1/E)*(σy-ν*σx)
となるので、これらよりσx、σyについて解くと、
σx=E*(ν*εy+εx)/(1-ν^2)
σy=E*(ν*εx+εy)/(1-ν^2)
となります。

(2)モールの応力円を描けばすぐにわかりますね。
最大せん断力τmaxは、以下の式で書けます。
τmax=(σx-σy)/2
よって、
τmax=(150-(-30))/2=90MPa
です。


(3)ねじり応力τは、横弾性係数G、棒の半径r、単位長さ当たりのねじれ角dφ/dxを使って
τ=G*r*(dφ/dx)
と書けるので、
10/(10^3)*81*π/180=4.5πMPa
ですね。

(4)Aが一次モードで座屈する時の波形はsinの半波長分になりますね。
一方、Bはsinの1/4波長分になります。
なので、Aの座屈長係数を1とすると、Bの座屈長係数は2になります。
オイラー座屈荷重Pcrは、
Pcr=π^2*EI/(L^2)
と、座屈する柱の長さの2乗に反比例することが分かります。
Bは座屈長さがAの2倍であるので、座屈荷重は1/4になります。
よって、
Pa:Pb=4:1
ですね。