a_1 = √3, a_{n+1} = √(2+a_n) で定まる数列

質問

a_1 = √3, a_{n+1} = √(2+a_n) で定まる数列

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質問者：naoty_t
投稿日時：2010/07/14 09:54
困り度：

a_1 = √3, a_{n+1} = √(2+a_n) で定まる数列 {a_n} の一般項は？
上の漸化式は、どうやら一般項が求まるようですが、そのやり方がわかりません。
どなたかご教授お願いします。

この質問への回答は締め切られました。

こういう非線形の漸化式を一般に解くのは結構難しくて、解析解が出るかどうかも微妙なんですよね。というわけで、何かよく知っている超越関数でうまく表してやるというのが定石になりますが、√3というのをヒントにすると、b_n=a_n/2とおいてみて、
b_1=√3/2、b_{n+1}=√(1+b_n)/2
そこでさらに、b_n=cos[c_n]とでもおいてみると、半角の公式から、
b_{n+1}=√(1+cos[c_n])/2=cos[c_n/2]
となり、左辺はcos[c_{n+1}]だから、要するにc_{n+1}=(c_n)/2です。
初項はc_1=π/6なので、これで一般項は容易に求まります。

うまく解けているように見えますけど、数学的には超越関数を利用しての線形化という操作をやっているわけで、若干ウルトラCという感じはしなくもないですね。他に有名な線形化の手法としては、
a_{n+1}=2a_n^2
みたいな漸化式がありますね。両辺の対数を取ることによって、線形漸化式にして解くというのはご存知なのではないでしょうか。この問題はlog[a_n]という置き換えをしたことになっていますね。

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この回答へのお礼

やはり変数変換で解けたんですね。
それにしても、cos を使うとは・・・盲点でした。
対数をとるのは、わりとメジャーな方法だとは思いますが、この方法は知らなかったです。

じつは、この漸化式は、円周率の多角形近似から生まれたもので、
半径 1 の円に内接する正 3・2^n 角形の一辺の長さに {a_n} が絡んできます。
（余弦定理と倍角公式を使えば、上記の漸化式が出てくる）

ちなみに、lim_{n→∞} 3・2^n・√(2-a_n) = π と、極限で円周率が出てきます。

この方法で、円周率を求めたら収束の早さはどれくらいか興味があり、
計算してみたら、以下の漸化式および π の公式にたどりつきました。

それにしてもなかなか奥深いですね。どうもありがとうございました。