f(z) = 1/(2-z) を |z|<2 で整級数に展開したとき、z^3の係数は何か?
という問題で答えは1/16になっています。
解答には
|z|<2では
f(z) = 1/{2(1 - z/2)}
= 1/2 Σ[n=0,∞](z/2)^n
となります。
と書いてあります。
何故1/{2(1 - z/2)}は
1/(2-z)の分母の2を前に出したんですか?
それと、
1/2 Σ[n=0,∞](z/2)^n
の1/2はそのまま前に出したものとしても、
1/(1 - z/2)
がΣ[n=0,∞](z/2)^nになるのは何故ですか?
そういう公式がありますか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>何故1/{2(1 - z/2)}は
>1/(2-z)の分母の2を前に出したんですか?
|z|<2から
|z/2|<1
これが収束条件になります。
なので2を括りだしてx=(z/2)の項のべき乗展開にしただけです。
>の1/2はそのまま前に出したものとしても、
>1/(1 - z/2)
>がΣ[n=0,∞](z/2)^nになるのは何故ですか?
1/(1-x)=Σ[n=0,∞] x^n (|x|<1)
というテーラー展開の公式(参考URLの幾何級数の所に公式そのものが載っています)
でx=z/2とおけば質問の展開式になります。
収束条件が|x|=|z/2|<1です。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラー展開
遅くなりました。
なるほど、右辺を1にして収束条件にしたんですね。
> 1/(1-x)=Σ[n=0,∞] x^n (|x|<1)
見つけました。
こんなのあったかな、と教科書を見てみると
幾何級数の例がちゃんと載っていました(左辺と右辺が逆に載っていましたが)。
収束する理由もこれで分かりました。
ありがとうございました!
No.2
- 回答日時:
等比級数の公式ですね。
1/(2 - z) という式を、等比級数 Σ[k=0→∞] ar↑k の和
a/(1 - r) の形にするために、
問題の式で分母の 2 の箇所が 1 になるように、
分子分母を同じ 2 で割ったのです。
その結果、a = 1/2, r = z/2 となりました。
a を前に出したのは、
Σ に関する共通因数の括り出しですよ。
遅くなりました。
なるほど、2の箇所を1にしたかったがために
他の部分に皺寄せがきてa = 1/2, r = z/2 になったんですね。
等比級数(幾何級数)は覚えておきます。
ありがとうございました!
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