N粒子の2準位系の比熱

N粒子の2準位系の比熱

下記問題の解答に間違いがあるとのご指摘を受けました。
最後の比熱の式が間違っているのではないかということです。
（http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6074091.htmlより）

どこか間違っているでしょうか。
ご回答いただけたら幸いです。

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N個の独立した粒子からなる系がある。
各粒子は2つの内部状態A,Bのいずれかをとりうる。
ここで状態Aは基底状態でそのエネルギーは0であり、
状態Bのエネルギーはεである(ε>0）。
粒子はそれぞれの位置に固定されており、
その並進運動を考える必要は無い。

この系に関する以下の問いに答えよ。
まず、この系が温度Tの熱浴と熱平衡状態にあるとする。
問1　状態A,Bを取る粒子の数をそれぞれ求めよ。
→カノニカル分布なので、（1）、（2）の分布関数を持つ。
それぞれの粒子数をn_A,n_Bとすると、（3）（4）である。

問2　この系のエネルギーU(T)を求めよ。
→エネルギーと粒子数をかけると（5）のようになる

問3　この系の比熱を求めよ。
→エネルギーをT微分したものをまとめる

No.1 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2010/07/30 20:54

ここに書かれていることは初めの質問に書いておいていただかないといけません。

どういう系を考えているかによって比熱の表現は変わリます。
ただ比熱とだけ書かれているのであればどう判断していいのかが分かりません。
（私の早とちりという面もあります。）

調和振動子系でしたら比熱は
Ｃｖ＝Ｎｋ(ｈν／ｋＴ)^2ｅ^(ｈν／ｋＴ)/(ｅ^(ｈν／ｋＴ)－１)^2
になります。
Ｔ→０でＣｖ→Ｎｋ(ｈν／ｋＴ)^2ｅ^(－ｈν／ｋＴ)→０
Ｔ→∞でＣｖ→Ｎｋ
です。

２準位系の場合、
＞低温近似ではlim[x→0]x*e^x→0型の極限のグラフと

　Ｔ→０ですからlim[X→∞]ｘｅ^(－ｘ)＝０型の極限です。

＞高温近似での1/T^2のグラフは分かりますが、

　これは画像の中の式では１／Ｔ^4となっています。

２準位系では高温で比熱が０になります。温度を上げてもエネルギーが増加しないのです。
２つしか準位がないので飽和してしまうと考えるといいでしょう。
そういう系であるとしていますから仕方がないのでしょうが普通はあり得ないことですね。
有限の熱量を加えることで温度無限大を実現できるということになります。

単独の系としては存在することができなくて何か他の系の中に埋め込まれて存在しているということかもしれません。スピン系が格子系の中に埋め込まれているというイメージです。
格子系は調和振動子系として考えることができます。準位の数が無限個あります。
準位が無限個あればいつでも励起が可能です。

元々の質問にあった高温近似と低温近似をどうつなぐかという点について

全体の式が分かっているのですから元々繋がっているのです。
X^2/coshX
のグラフを書けばいいはずです。

この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。

> ここに書かれていることは初めの質問に書いておいていただかないといけません。

大変申し訳ありませんでした。
今後、質問する際に気をつけます。

> ＞高温近似での1/T^2のグラフは分かりますが、
>
>　これは画像の中の式では１／Ｔ^4となっています。

これは、私が画像を作ったときのミスです。
1/T^2が正しいです。
間違った表現をして、ご不便をおかけして申し訳ありません。

本問いに関する丁寧な解説、まことにありがとうございます。
これを参考に、よりがんばって勉強していきます。

> 全体の式が分かっているのですから元々繋がっているのです。
> X^2/coshX
> のグラフを書けばいいはずです。

なるほど。
これですっきりしました。

お礼日時：2010/07/31 00:17

No.2 回答者： quadlike 回答日時： 2010/07/30 21:18

途中で計算がミスっているような気がします。

一般的にエネルギー差が?の2準位系では比熱は，
　C＝(N(?)^2/kT^2)*(2cosh(?/2kT))^(-2)
となります．今の場合，?＝εです．近似してやればわかりますが，低温でも高温でもCは0に近づきます．そしてその途中の温度でピークをとります．なので概形に関してはhttp://okwave.jp/qa/q6074091.htmlの図でおおまかにあっています．
こういうのをショットキー型の比熱といいます．

この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。

> 途中で計算がミスっているような気がします。一般的にエネルギー差が?の2準位系では比熱は，
> 　C＝(N(?)^2/kT^2)*(2cosh(?/2kT))^(-2)
> となります．今の場合，?＝εです．

大変恐縮なのですが、ミスっている気がしません。
この?にεを代入すれば、私が画像に書いた最後の式に一致すると思います。

ショットキー方の比熱ということで、
新しい知識を授けてくださって、ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/31 00:22