No.2ベストアンサー
- 回答日時:
utt=c^2uxx (0)
の一般解を求めるやり方でやってみましょう。
これは1次元の波動方程式ですね。第1ステップ、第2ステップ、第3ステップと順を追っていきましょう。
<第1ステップ>・・・変数についての微分
ξ=x+ct (1)
η=x-ct (2)
と置きますと、u(t,x)は ξ、ηの関数であると考えることができますね。uをxで微分します。合成関数の微分より
∂u/∂x=(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x)+(∂u/∂η)(∂η/∂x)
=∂u/∂ξ+∂u/∂η
=(∂/∂ξ+∂/∂η)u (3)
が得られます(∵(1)、(2)より∂ξ/∂x=1,∂η/∂x=1)。
(3)をよく見るとxの微分演算子が(4)のようになることが分かります。
∂/∂x → ∂/∂ξ+∂/∂η (4)
(3)を再度xで微分すると、(4)の関係を使って
∂/∂x(∂u/∂x)=uxx
=(∂/∂ξ+∂/∂η)(∂u/∂ξ+∂u/∂η) (5)
(5)の右辺を展開すると
右辺=uξξ+2uξη+uηη (6)
となります。但しuの右側の記号はそれぞれの変数での偏微分を意味します(uξη≡∂/∂ξ(∂u/∂η),・・・)。
<第2ステップ>・・。時間について微分
uを時間tで微分します。
∂u/∂t=(∂u/∂ξ)(∂ξ/∂t)+(∂u/∂η)(∂η/∂t)
=c{(∂u/∂ξ)-(∂u/∂η)} (7)
(7)を再度時間tで微分すると
utt=c^2(∂/∂ξ-∂/∂η)(∂u/∂ξ-∂u/∂η)
=c^2(uξξ-2uξη+uηη)
=c^2uxx-c^2(2uξη) (8)
となります。これから、方程式(0)は結局(8)の右辺第2項を0と置いたものと同等になることが分かります。つまり、
uξη=∂/∂ξ(∂u/∂η)=0 (9)
ここがミソ。従って、微分方程式(9)の一般解が方程式(0)の求める一般解となります。
<第3ステップ>・・・一般解を求める
∂/∂ξ(∂u/∂η)=0 (10)
ですからφ1(η)を任意関数として
∂u/∂η=φ1(η) (11)
と置けますね。従って
∂/∂η{u-∫φ1(η)dη}=0 (12)
となりますから、今度は、ψを任意関数として
u-∫φ1(η)dη=ψ(ξ) (13)
と書けます。(13)よりφ(η)、ψ(ξ)を任意関数として
u=ψ(ξ)+∫φ1(η)dη=ψ(ξ)+φ(η) (14)
となります。ψ、φは任意の関数ですから
u(t,x)=f(x+ct)+f(x-ct) (15)
と書けますね。これが求める一般解です。
[P.S]
波動方程式 utt=c^2uxx (c:光速度)は一般にヘルムホルツ方程式と呼ばれています。この偏微分方程式はグリーン関数を用いて解きます。この辺の話しはまた機会があった時にでも勉強されるとよいでしょう。例えば松浦武信他著「物理・工学のためのグリーン関数入門」東海大学出版会など、分かりやすい参考書が沢山出版されています。
No.1
- 回答日時:
参考程度に
二回連続微分可能な任意の関数f(x)に対して、関数
u=u(t,x)を
u(t,x)=f(x+ct)+f(x-ct) c:正の定数
と定義すると、
ですから、例えば
u(t,x)=a*(x+ct)^2+b*(x-ct)^2
と置けば、
u'(t)=2ac*(x+ct)-2bc*(x-ct)
u"(t)=2ac^2+2bc^2=c^2(2a+2b)
u'(x)=2a*(x+ct)+2b*(x-ct)
u"(x)=2a+2b=(2a+2b)
になりますから
u"(t)=c^2*u"(x)
になりますね。
つまり、(x±ct)は1次の線形結合ですから
f(x±ct)をxまたはtで微分しても符号のみ
変化で同じ形式になりますね。
tで行うときは係数Cが前に出るだけですね。
二回微分するとc^2 が出るだけです。
そんな感じですかね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2階微分d^2y/dx^2を詳しく教え...
-
サイン二乗xの微分を教えてく...
-
arctanの微分について質問させ...
-
これらの数式を声に出して読む...
-
y=logxA(Aは定数)をxで微分
-
分母が文字の分数を微分する方...
-
授業で「yをxで微分する」とい...
-
なぜ微分したら円の面積が円周...
-
yの2乗をxで微分すると?
-
log(1+x)の微分
-
最大値と最小値の求めかた
-
方程式から[ ]の中の定数を消去...
-
3階微分って何がわかるの??
-
不定積分の計算で出た定数は捨...
-
y=e^x^x 微分 問題
-
y=x^xの二回微分
-
虚数の入った積分
-
二回微分して 上に凸下に凸 が...
-
x√xの微分
-
y^2をxについて微分してください
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2階微分d^2y/dx^2を詳しく教え...
-
サイン二乗xの微分を教えてく...
-
二回微分して 上に凸下に凸 が...
-
3階微分って何がわかるの??
-
授業で「yをxで微分する」とい...
-
分母が文字の分数を微分する方...
-
y^2をxについて微分してください
-
y=e^x^x 微分 問題
-
これらの数式を声に出して読む...
-
和積・積和の公式について質問...
-
log(1+x)の微分
-
三角関数の微分の問題なんです...
-
二次関数 y=x^2 を微分すると---
-
なぜ微分したら円の面積が円周...
-
不定積分の計算で出た定数は捨...
-
位置を微分したら速度?
-
lim[x→0](e^x - e^-x)/x
-
dxやdyの本当の意味は?
-
y=logxA(Aは定数)をxで微分
-
数3の「eのh乗引く1をでh割...
おすすめ情報