直線の方程式 難

直線の方程式　難

次のような直線の方程式を求めよ。
（１）点Ａ（１、２、３）を通り、@d=(2,3,-4)に平行
Ｏは原点、Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）を直線上の点、ｔを実数とする。
@OP=@OA+t@dであるから(x,y,z)=(1,2,3)+t(2,3,-4)
よってx=1+2t,y=2+3t,z=3-4t

教えてほしいところ
まず、なぜこれが点Ａ（１、２、３）を通り、@d=(2,3,-4)に平行な直線であるといえるのか理解できません。
ｘ＝４という直線を考えます。このｘとはｘｙ平面上に存在する無数の点（ｘ、ｙ）のｘ座標は４ということですよね？？
ですから、それを満たすような座標を全て打てばそれが直線です。
ではx=1+2t,y=2+3t,z=3-4tの直線を考えます。このｘ、ｙ、ｚは無数の点（ｘ、ｙ、ｚ）の条件とは考えられません。
なぜなら、このｘ、ｙ、ｚというのは終点座標（ｘ、ｙ、ｚ）だからです。なので、ｘｙｚ平面上の点のｘ、ｙ、ｚの関係式ではないので
ｘｙｚ空間上に満たすような座標を打つことができない。よって、x=1+2t,y=2+3t,z=3-4は直線とはいえないないのでは？？

No.6 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/07 15:01

#2です。

＞その空間上の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式でなく終点座標の任意の点ｘ、ｙ、ｚの
＞関係式であるのにあたかもｘ、ｙ、ｚ空間上の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式のように
＞見ることが何故できるのか？？ということです。

以下のように変形したら、どうですか？
x=1+2t, y=2+3t, z=3-4tより、t＝・・・の形に変形すると
(x-1)/2＝ (y-2)/3＝ (z-3)/(-4)＝ t

最後の ＝tを省いてしまえば、ちゃんと x, y, zの関係式となります。

「こんな形で直線の式なの？」とも言われそうなので、
平面の場合についても同じようなことをやっておくと
(x, y)＝ (t+ 1, 3t- 4)より x-1＝ (y+4)/3＝ tと変形できます。

このような形にしたときに、分母として現れている数字の組が「方向ベクトル」になっています。
そして、分子が 0となるような x, y, zの値は通る点を表してくれます。


繰り返しになってしまいますが、
(x-1)/2＝ (y-2)/3＝ (z-3)/(-4)＝ t

について、図形的な解釈をしておくと
・点(1, 2, 3)（←分子がそれぞれ 0となるような値の組）から、
・x方向に +2、y方向に +3、 z方向に -4の「傾き（方向ベクトル）」をもって
進んでいく直線を表している。ということになります。

x, y, zのそれぞれの進み具合が x: y: z＝ 2: 3: (-4)となるので、
それぞれで割っておけば比の値は同じになりますよねえ。
というのが、上の式が表している内容とも言えます。

No.5 回答者： Kules 回答日時： 2010/10/06 22:18

A No.3 Kulesです。

うーん…やっぱりわかりません。
>今回　（ｘ、ｙ、ｚ）は終点である
と言われて「終点って何だ？」と思っているのは私だけでしょうか？
ひょっとして点P（x,y,z）と書いているから(x,y,z)はある決められた１点を示し、
特定の値だと考えているんですかね？
じゃあ文字を変えて考えてやりましょう。
x,y,zはxyz空間内で好き勝手動ける値だと思って下さい。
点P(p,q,r)を直線上の点、tを実数とします。
@OP=@OA+t@dであるから(p,q,r)=(1,2,3)+t(2,3,-4)
よってp=1+2t,q=2+3t,r=3-4t
(p,q,r)はtによって決まるある一点です。しかし、
xyz空間内に無数に存在しているx,y,zという値の組み合わせが、たまたま(p,q,r)と
一致することもあるわけです。
そういった点を集めると直線になりそうな気がしませんか？

まあこの問題でP(x,y,z)とおくことがいいのかどうか。
こうやっておきながら(x,y,zがある特定の値を持っているかのような印象を与えておきながら)
xyz空間という言葉を使うことの是非は？という話もありますが、

こういう慣例ということですかね…嫌なら自分で
・x,y,zは空間内の無数の点を表す文字
・それ以外の点を文字で置く時は何が何でもx,y,zは使わない
と決めておけばいい話です。

問題集の解説でこの問題のような表記を見たら、
「ああ、こっちのxは無数の点を表してるんだな、こっちのxはある特定の値（と言っていいかはわかりませんが）を表しているんだな」と広い心で見てやればいいのではないかと。

うーん…まだ質問者様の質問している意図がつかみ切れていない気が。
私の理解不足ですかね。出直してきます。

参考になれば幸いです。

No.4 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/10/06 09:09

> ｘ＝４という直線を考えます。

この時点で間違っています。
この問題は、2次元平面ではなく、3次元空間の問題ですよね。
であれば、x=4は、直線ではなく平面です。

> このｘとはｘｙ平面上に存在する無数の点（ｘ、ｙ）のｘ座標は４ということですよね？？

このxとは、x=4のyz平面状に存在する無数の点(4,y,z)の集まりです。

No.3 回答者： Kules 回答日時： 2010/10/05 21:39

ん～何を疑問に感じているのかいまいちわからないところもありますが、とりあえず書いてみます。

>ｘ＝４という直線を考えます。このｘとはｘｙ平面上に存在する無数の点（ｘ、ｙ）のｘ座標は４ということですよね？？
他の方も書かれているとおり、２次元で考えていればこれは正しいです。ただし、今回の問題を見る限り舞台は３次元のようなので、x=4は平面であり、直線とはなりません。

>ではx=1+2t,y=2+3t,z=3-4tの直線を考えます。このｘ、ｙ、ｚは無数の点（ｘ、ｙ、ｚ）の条件とは考えられません。
>なぜなら、このｘ、ｙ、ｚというのは終点座標（ｘ、ｙ、ｚ）だからです。なので、ｘｙｚ平面上の点のｘ、ｙ、ｚの関係式ではないので
他の方も（以下略）終点座標という言葉は初耳ですが、x,y,zに何の条件もないわけではありません。
例えばxを2と決める→x=1+2tからtが決まる→y=2+3tからyが決まる→z=3-4tが決まる
というようにy,zにはxによるしばりが存在していることになります。
yを最初に決めてもzを最初に決めても同じことが起こります。
ただ、どれか１つを先に決めるというのはその文字を特別扱いしているような感じで嫌なので、
全ての文字を仲介しているtを元に考えていくというのがよさそうです。
このtを媒介変数と呼びます。

２次元での直線を、「xを少しずつ変化させていった時（x=0,1,2,3,…のように）その時のy座標を求め、それらの点をつないだらできるもの」ぐらいのイメージが出来ているのであれば、３次元でも全く同じことができます
（xを少しずつ変化させていった時のy座標、z座標を求め、それらの点をつないだらできるものが直線です。もちろんtを少しずつ変化させ、その時のx座標、y座標、z座標を求めて…としても構いません）
ちなみに今回はたまたま式の関係が直線なので
「xを少しずつ変化させていった時のy座標、z座標を求め、それらの点をつなぐ」という操作をすることによって直線ができますが、もちろん直線以外に曲線などもできます。

大事なことは
・直線や曲線は、何らかの条件で決まった(x,y,z)の値を元にxyz空間内に打った点をいっぱい集めたものである
ということです。

質問文を読んでいると、無数の点の集まりである「直線」と、何らかの条件を満たしたx,y,zによってxyz空間に打たれた「点」を混同しているような印象を受けます。

大事なのは「言葉そのもの」ではなく「その言葉が何を意味しているか」です。ただ聞いたことあるような言葉を並べて自らの説明や主張としてもすぐに破たんします。

最後自分のことを棚に上げてお小言みたいになってしまいましたが、参考になれば幸いです。

この回答への補足

すいません。ｘ＝４は平面でした。
僕がわからないことは、ｘ＝４は無数の点（ｘ、ｙ、ｚ）ｘ座標の条件式と見ることはできる。
しかし、今回　（ｘ、ｙ、ｚ）は終点である。その終点ｘ、ｙ、ｚの条件式が得られたとしても、
そのｘ、ｙ、ｚは座標空間上の任意の点（ｘ、ｙ、ｚ）ではなく、あくまで終点座標（ｘ、ｙ、ｚ）。
その空間上の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式でなく終点座標の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式であるのにあたかもｘ、ｙ、ｚ空間上の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式のように見ることが何故できるのか？？ということです。

補足日時：2010/10/06 16:11

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/05 20:04

こんばんわ。

＞ではx=1+2t,y=2+3t,z=3-4tの直線を考えます。このｘ、ｙ、ｚは無数の点（ｘ、ｙ、ｚ）の条件とは考えられません。
いろんな tの値をとって、点をつなげていくと空間座標内の直線が与えられます。

同様に、平面座標内においても (x, y)＝ (t+ 1, 3t- 4)から tを消去すると、
直線：y＝ 3x- 7という方程式が得られます。

tは媒介変数（パラメータ）と呼ばれる変数で、文字どおり x, y, zの関係を「媒介（仲介）」する役割をもった変数となります。


＞このｘ、ｙ、ｚというのは終点座標（ｘ、ｙ、ｚ）だからです。
「終点座標」という言葉は、はじめて聞きましたが、これは原点に対する位置ベクトル（の成分）です。
ここで添付の図において、点Pまで到達するのに以下のような手順を考えます。
・まず、原点から定点Aまで進めます。
・次に、点Aからベクトル：u→の定数倍進みます。この定数倍がいろいろと変わることで、直線上のあらゆる点を表すことになります。
そして、u→は「方向ベクトル」と呼ばれます。

「定点」と「方向ベクトル」というのは、ちょうど「y切片」と「傾き」というのと同じ位置づけになっています。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/10/05 19:38

◎根本的に解っていないところ

x=1+2t,y=2+3t,z=3-4t

は3次元空間における直線です。

＞ｘ＝４という直線を考えます。このｘとはｘｙ平面上に存在する無数の点（ｘ、ｙ）のｘ座標は４ということですよね？？

は2次元平面の話です。

◎何を言っているか解らないところ

ではx=1+2t,y=2+3t,z=3-4tの直線を考えます。このｘ、ｙ、ｚは無数の点（ｘ、ｙ、ｚ）の条件とは考えられません。
なぜなら、このｘ、ｙ、ｚというのは終点座標（ｘ、ｙ、ｚ）だからです。なので、ｘｙｚ平面上の点のｘ、ｙ、ｚの関係式ではないので
ｘｙｚ空間上に満たすような座標を打つことができない。よって、x=1+2t,y=2+3t,z=3-4は直線とはいえないないのでは？？


次の問題を解けば理解のきっかけになるでしょう。

パラメターｔを-100から+100まで10置きに変えていって
(1)x,y,zを計算し表を作れ
(2)各tについて計算した（x,y,z）を空間座標にプロットせよ
(3)出来上がった図形を眺めて感想を述べよ。

この回答への補足

すいません。ｘ＝４は平面でした。
僕がわからないことは、ｘ＝４は無数の点（ｘ、ｙ、ｚ）ｘ座標の条件式と見ることはできる。
しかし、今回　（ｘ、ｙ、ｚ）は終点である。その終点ｘ、ｙ、ｚの条件式が得られたとしても、
そのｘ、ｙ、ｚは座標空間上の任意の点（ｘ、ｙ、ｚ）ではなく、あくまで終点座標（ｘ、ｙ、ｚ）。
その空間上の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式でなく終点座標の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式であるのにあたかもｘ、ｙ、ｚ空間上の任意の点ｘ、ｙ、ｚの関係式のように見ることが何故できるのか？？ということです。

補足日時：2010/10/06 16:12