複素数での極限と絶対値

複素数での極限と絶対値

他人の質問への便乗で大変申し訳ないのですが、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2649820.html
でのNo2さんの良回答からの引用で質問です。


回答中の

exp(Ax)で x->∞としたときだけが問題になります．
さて，xは実数だということを忘れないように.(A=-(1+ai)とおいていたので)
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
ここで，|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって，
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

という部分で、


=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
において極限を考えるときに、
|cos(ax) - i sin(ax)| = 1
と考えられるのはなぜなんでしょうか？
絶対値でないものを絶対値で考えられる理由がわからず困っています。

複素数の知識は全くと言っていいほど無いので、検討違いな質問でしたらすみません。
どうかご回答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/06 23:09

＞ 絶対値でないものを絶対値で考えられる理由がわからず困っています。

もともと、lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) を求めたい訳です。
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) | = 0 であることが言えれば、
lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) = 0 が言えますね？　　　　←[1]
絶対値は、連続関数ですから。

計算してみると、
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) |
= lim[x→+∞] exp(-x)　　　　←[2]
= 0
です。

| cos(ax) - i sin(ax) | = 1 は、[2] へと変形するのに使ったのでした。
絶対値で考えられる理由は、[1] なのですが。

この回答へのお礼

大変よくわかりました、本当にありがとうございます。

お礼日時：2010/10/07 20:10

No.3 回答者： noname#119424 回答日時： 2010/10/07 11:51

(cos(ax)-i sin(ax))の絶対値が1というのが分からんの？

それはおいといて
そもそもf(x)=g(x)＋ih(x)　と考えた場合に(g(x)とh(x)は実関数)
|g(x)|≦|f(x)| |h(x)|≦|f(x)|
が成立することに気付いて理解できていれば今の場合も分かるはず。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/07 20:09

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/06 17:42

「考えられる」も何も, a と x が実数なら

|cos(ax) - i sin(ax)| = 1
です. 絶対値がついているのは, 極限を考えるから. ε-δ が念頭にあればわかる.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/07 20:11