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1 まず、言葉の意味をはっきりさせます。
(分布、分布関数)
「分布」自体の定義は面倒なので、代わりに「分布関数」を定義します。Xを確率変数として、tを実数とします。「Xがt以下になる確率」を「Xの分布関数」といいます。分布の性質は、分布関数によって完全に特徴付けられます。この意味で、分布を知ることと分布関数を知ることとは、同義です。なお、分布関数は、0から1までの値をとる広義単調増加関数(s<tならF(s)≦F(t))です。
(連続、独立、同一)
Xの分布関数をF(t)とします。Xの分布が「連続」であるとは、F(t)が連続関数であることを意味します。
確率変数X1,…,Xnの分布関数をF1(t),…,Fn(t)とします。X1,…,Xnが「独立」であるとは、任意の実数t1,…,tnに対して「X1≦t1、…、Xn≦tnとなる確率」がF1(t)×…×Fn(t)となることを意味します。
X1,…,Xnの分布が「同一」であるとは、F1(t)=…=Fn(t)であることを意味します。
(分布平均、観測平均)
「平均」という言葉には、いくつかの意味があります。ここでは、混乱を避けるため、次のように使い分けることにします。
「分布平均」 確率変数Xの期待値
「観測平均」 確率変数X1,…,Xnの単純平均((X1+…+Xn)/n)。
(分布中央値、観測中央値)
同様に、「中央値」についても次のように使い分けることにします。
「分布中央値」 F(t)=1/2 となるt
「観測中央値」 X1,…,Xnのうち小さい方から(n+1)/2番目の値(nが奇数のとき)、又はn/2番目の値とn/2+1番目の値の単純平均(nが偶数のとき)
2 観測平均の分布
ご質問の意味は、観測平均や観測中央値の分布がどうなるか、ということと解します。観測平均や観測中央値は、それ自体が確率変数なので、その分布を考えることができるのです。以下、X1,…,Xnは、独立で同一の分布に従う確率変数とします(「連続」の仮定は不必要)。
観測平均の分布は、「X1/n の分布をn個畳込んだもの」となります。「」内の意味が難しいかもしれませんが、雰囲気として、一般的手法が確立していることが理解できると思います。
とくに、X1が分布平均μ、分散σ^2の正規分布に従うとき、観測平均は、分布平均μ、分散(σ^2)/nの正規分布に従います。
また、X1が正規分布に従わなかったとしても、緩い条件が満たされたなら、nが大きいとき、観測平均は、分布平均μ、分散(σ^2)/nの正規分布に近似的に従うことが知られています(中心極限定理)。
3 観測中央値の分布
「X1,…,Xnのうち小さい方からk番目の値」の分布関数をG(t,k,n)とします。G(t,k,n)は、具体的に
G(t,k,n)=Sum(Comb(n,r)・F(t)^r・(1-F(t))^(n-r)| r=k,…,n)
となります。Comb(n,r)は、n個からr個を選ぶ組み合わせの個数で、F(t)は、X1の分布関数で、Sum(| r=k,…,n)は、rがkからnに至るまでの総和を表します。
観測中央値の分布関数は、nが奇数のとき、
G(t,(n+1)/2,n)
となります。nが偶数のときは、面倒なので省略します。ただ、nが大きいときは、奇数のときの式を使っても大差ありません。
もし、X1の分布中央値が確定するなら、これをaとして、次が成立します。
(1) 観測中央値の分布中央値は、aに一致する。
(2) εを正数とする。観測中央値がa-ε以下又はa+ε以上になる確率は、nが大きくな
るとき、0に収束する。すなわち、観測中央値は、nが大きくなるに従い、aの近辺
に集まるようになる。
なお、X1の分布中央値は、いつも確定すると限りません(例えば、F(t)のグラフがF(t)=1/2となるtを含む区間で水平になるときは、分布中央値が確定しない)。
(参考)伊藤清(1953),"確率論",岩波書店
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