対称行列に関する問題

対称行列に関する問題
このような概念的な問題の解き方が良くわからない。
どのように計算すれば良いのか？
どなたか教えていただけませんでしょうか＞＜
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/06 22:12

場合分けは、要らないよ。

A が実対称行列だということは、A = A^t = A^* だということ。
No.2 の手順で…

１.
X1^t A X2 = X1^t (A X2) = X1^t (k2 X2) = k2 X1^t X2 と
X1^t A X2 = (A X1)^t X2 = (k1 X1)^t X2 = k1 X1^t X2 を比較すれば、
k1 X1^t X2 = k2 X1^t X2 と判る。

k1 ≠ k2 だから、X1^t X2 = 0。
これは、X1 と X2 が直交することを表している。

２.
X1^* A X1 = X1^* (A X1) = X1^* (k1 X1) = k1 X1^* X1 と
X1^* A X1 = (A X1)^* X1 = (k1 X1)^* X1 = k1^* X1^* X1 を比較すれば、
k1^* X1^* X1 = k1 X1^* X1 と判る。

X1 ≠ 0 だから、X1^* X1 ≠ 0 であって、k1^* = k1。
これは、k1 が実数であることを表している。

この回答へのお礼

わかりやすいご回答ありがとうございます！
助かりました！
本当にありがとうございます。

お礼日時：2010/11/07 09:50

No.4 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/06 16:16

これだと書き方が不十分。

((1)の回答)
k1,k2を実数とし(k1≠k2)以下の場合分けに必見する。
(i)k2=0であるとき
k1≠0

(k2*-k1)k1(x1,x2)=0から-k1^2(x1,x2)=0
よって(x1,x2)=0
(ii)
k1=0であるとき
k2≠0
k2*(Ax1,x2)-k1(x1,Ax2)=(k2*-k1)(x1,Ax2)=(k2*-k1)k2*(x1,x2)
=k2^2(x1,x2)=0
よって(x1,x2)=0

(iii)
k1,k2ともに0でないとき
明らかに(k2*-k1)k1≠0より(x1,x2)=0

No.3 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/06 16:01

これって(2)からやれば簡単かもしれない

(2)x1を複素成分とするAの固有ベクトル、k1を0でない固有値とすると
　　　　Ax1=k1x1で　k1*(Ax1,x1)-k1(x1,Ax1)=0 である。
ただし*は共役複素数を表す
Aは対称行列より(Ax1,x1)=(x1,Ax1)が成り立つ
したがって k1*(Ax1,x1)-k1(x1,Ax1)=(k1*-k1)k1(x1,x1)=0
ここでx1は零ベクトルでないので(x1,x1)>0
またk1≠0からk1*=k1 これよりk1は実数であることが分かった。
したがってAの任意の固有値は実数である。

(1)
k1≠k2とし
Ax1=k1x1
Ax2=k2x2 となるようにx1,x2を一つ定めて先ほどと同じ計算をすると
(k2*-k1)k1(x1,x2)=0となる。
ここでk2*=k2に注意して
(k2-k1),k1≠0より
(x1,x2)=0

<一言>
本当は(1)からやるものの(2)からやると簡単にいくのはどっか僕が間違っているか、別のやり方がもしかするとあるかもしれない。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/11/07 09:50

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/06 00:12

１. 行列積 X1^t A X2 を、= X1^t (A X2) と = (A X1)^t X2 の２通りに計算してみる。

　　ただし、^t は転置を表す。　
２. 行列積 X1^* A X1 を、= X1^* (A X1) と = (A X1)^* X1 の２通りに計算してみる。
　　ただし、^* は転置共役を表す。　

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/05 23:41

1: とりあえず, 「ここにある条件から書くことのできる式」と「最終的に示せばいい式」を書いてみる.

2: 「実数である」ことを示すには, どのような式が出てくればいいと思いますか?