図形の概形、面積および周の長さの問いなんですが…

高校レベルの問題ならばなんとかできるんですが、この問題はチョットわかんなくて…

助けて下さい！！！

Ｘ^(2/3)+Ｙ^(2/3)=ａ^(2/3) （ａ>０）

↑『＾は指数で、「Ｘの（3分の2）乗」って意味です…』

上の式で与えられる曲線の概形と面積、全長を求める問題なんですが、まず式が求められません… 積分しようにも式が無いとどうにもこうにも…

なにかヒントをいただけたら嬉しいです！！

よろしくお願いします！！

No.5 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2003/08/29 01:03

これはアステロイドと呼ばれる曲線で，

x,y 軸上に端点を持つ長さ一定の線分を動かしていくときの包絡線になっています．

grothendieck さんのご回答拝見しました．
ちょっと手がすべったようで，

よって第一象限の長さは
　∫[0～a]√(1+(dy/dx)^2) dx
　=∫[0～a](x/a)^(-1/3) dx
　= (3/2)a

ですね(揚げ足取りみたいで失礼)．
したがって，全体の長さは 6a です．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=177645
の私の回答もご覧下さい．

なお，面積は 3πa^2/8 です．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=169279

この回答へのお礼

お礼が遅くなってもうしわけありませんでした！
回答ありがとうございます！

ご丁寧な回答ありがとうございました！
すこし自分でがんばってみます！

ありがとうございました！

お礼日時：2003/08/29 10:37

No.4 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/08/26 04:25

chi-kunさん、こんにちは。

デカルト座標では、曲線上の点(x,y)と(x+dx,y+dy)の間の距離をdsとすると
　(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2
　　=√(1+(dy/dx)^2) dx
となり、曲線の長さはこれを積分して求められます。
　dy/dx = x^(-1/3) (a^(2/3) - x^(2/3))^(1/2)
　(1+(dy/dx)^2)=(x/a)^(-2/3)
よって第一象限の長さは
　∫[0～a]√(1+(dy/dx)^2) dx
　=∫[0～a](x/a)^(-2/3) dx
　= 3a
となります。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってもうしわけありませんでした！
回答ありがとうございます！

ちょっと難しそうですががんばってみます！
丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2003/08/29 10:32

No.3 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/08/23 23:23

式はそこにあるじゃないですか。

Y^(2/3)＝｛a^(2/3)－x^(2/3)｝
Y＝

指数が分数になっているからX,Yは０以上として
第１象限
３乗根だからX,Yが負の場合も考えられないわけじゃないが。
負の場合まで考えるときは座標軸に対称になるので
第１象限の４倍とすればよいから、とにかくまず
第１象限。
円が基本になるがこの場合は逆に内側に引っ込んだ
手裏剣（４頂点の星）のような形かな
面積の積分は円をヒントに置換積分で出来ると思う。
｛｝の中がａ^(2/3)＊（１－（sinθ）^2）になるように

この回答へのお礼

お礼が遅くなってもうしわけありませんでした！
回答ありがとうございます！

ちょっとがんばってみます！手裏剣型ですか…

できるかな？？

お礼日時：2003/08/29 10:27

No.2 回答者： nabeyann 回答日時： 2003/08/23 22:53

＞なにかヒントをいただけたら嬉しいです！！

では、ヒントだけ
x^2＋y^2＝r^2 円の方程式
x＝X^1/3　,　y＝Y^1/3

この回答へのお礼

お礼が遅くなってもうしわけありませんでした！
回答ありがとうございます！

ヒントをみてがんばってみます！

お礼日時：2003/08/29 10:22

No.1 回答者： goosn 回答日時： 2003/08/23 22:49

ｌｏｇとって変形してみては？

この回答への補足

スイマセン！

回答→お礼 の打ち間違いです…

補足日時：2003/08/29 10:33

この回答へのお礼

回答がおそくなりもうしわけありませんでした。

logは最初にとってみたんですがやはりどうにもならなかったんですよ。

がんばってみます！

お礼日時：2003/08/29 10:19