数学の質問です。弧度法で扇形の孤の長さや面積を求める公式の意味についてです。 それぞれの円周・面積の

数学の質問です。弧度法で扇形の孤の長さや面積を求める公式の意味についてです。
それぞれの円周・面積の公式にθ/2πをかけると思うのですが、2πがなぜ円全体を表すのでしょうか？
最初は半径=1の円で、π＝180°で考えていて、1を省略していると思ったのですが、後に出てくる半径=6のような問題が出てくるので違うみたいです。
よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/09 14:18

弧度法とは、「半径と等しい長さの弧に対する中心角の大きさ」を 1[rad](ラジアン) と定めた 角度を表す 方法で、長さを表してはいません。

つまり 1π は 度数法の 180° と同じです。当然 1 は省略して π です。
従って 2π は 円全体の 中心角を表しますから 360° です。
（円そのものを 表している訳では ありません。）
従って 半径=6 と云うのは、半径の長さを 表しています。
半径=6 の円の 円周の長さは 6*2π です。
つまり 画像にあるように 半径 r で 中心角 θ の 弧の長さは rθ になります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/09 21:08

2πは円周全体の長さではなく

(円周全体の長さ)/(半径)=2π
を
表します

θは扇形の弧の長さではなく
(扇形の弧の長さ)/(半径)=θ
を
表します

だから

半径r,中心角θ(ラジアン)から弧の長さL=rθが導かれるのではなく
半径r,弧の長さLから中心角θ=L/rが導かれるのです

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/09 15:29

扇形の孤の長さや面積は、半径が一定なら

中心角に比例します。
円全体の中心角が度数法で360°,弧度法で２πですから、
比例の式は
扇形の孤の長さ = (円周の長さ)×(度数で測った扇型の中心角)/360,
　　　　　　　= (円周の長さ)×(弧度で測った扇型の中心角)/(２π),
扇形の面積 = (円の面積)×(度数で測った扇型の中心角)/360,
　　　　　= (円の面積)×(弧度で測った扇型の中心角)/(２π)
になりますね？

なぜ、円全体の中心角が弧度法で２πかって？
そのように決めたものが弧度法だからです。「定義により」ってやつです。
全円が2πなら角度の単位は「ラジアン」、
全円が360なら角度の単位は「度」、
全円が100なら角度の単位は「グラジアン」になるだけです。
単に、そういう約束です。