昔の数学オリンピックの問題

かなり昔に数学オリンピックの問題で２５０００分の１の縮尺の地図の上に５００００分の１の縮尺の地図を重ねると（もちろん両方同じ場所の地図です）、必ず一点は一致する場所があることを証明させる問題があったような気がしますが、どのように証明すればいいのでしょうか？
複素平面で解けそうな気もしますが、全く手が出ません。
現在理工系大学学部３年ですのでどのようなアプローチでも理解できるとは思います。
ぜひともご教示ください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masudaya 回答日時： 2011/01/11 08:55

おおざっぱですが,まず地図を座標(0，0)であわせた後，寸法が半分の地図をθ回転して,(α,β)平行移動すると,一致する座標を(x0，y0)とすると，変換後は(0.5*(x0*cosθ-y0*sinθ)+α，0.5*(x0*sinθ+y0*cosθ)+β)となります.これが，(x0，y0)に等しいので，連立方程式

(0.5*cosθ-1)*x0-y0*0.5*sinθ=-α
x0*0.5*sinθ+（0.5*cosθ-1）*y0=-β
となります.これが解けるためには，
（0.5*cosθ-1）^2+0.5^2*sin^2θ≠0
0.25+1-cosθ≧0.25≠0
となるので，上の連立方程式は解ける.つまり一致する座標があることになります.

ちょっと，かっこよくありませんが....

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2011/01/11 19:54

もし、トポロジーからのアプローチが許されるのなら、「不動点定理」の証明をなぞるのもいいかもしれません。