分極Ｐ 誘電体 電界

（問）強さＰで一様に分極した誘電体から穴をくりぬいた時、内面に現れた分極電荷により穴の中央の点に生ずる電界の強さＥを求めよ。

※穴のくりぬき方；半径rの球からトンネルを掘るように中心を対称にして穴をくりぬく。
鉛直上向きを分極ベクトルＰの向きとして、球に垂直な成分はPcosθと表現できるとする。


この問題を是非是非解いてください！！！！

No.1 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/01/18 01:46

穴の中心を原点とする球座標(r,θ,φ)を使って考える．

対称性より求める電場はz軸方向以外の成分を持たない．

一様分極Pによって穴の表面に現れる電荷の面密度 σ は，
穴の表面の外向き(誘電体側を内側として)法線ベクトルを n として，

σ = n・P = -P cos θ.

穴の表面の微小面積素は dS = r^2 sin θ dθ dφ.

σ dS が穴の中心につくる電場のz成分は

dE
= σ dS/(4πε0) (-cos θ)/r^2
= -P cos θ r^2 sin θ dθ dφ/(4πε0) (-cos θ)/r^2
= P/(4πε0) cos^2 θ sin θ dθ dφ.

これを積分して

E = ∫dE
= P/(4πε0) ∫[0,2π] dφ ∫[0,π] dθ cos^2 θ sin θ
= P/(2ε0)∫[0,π] dθ cos^2 θ sin θ
= P/(3ε0).

求める電場はPと同じ向きで，
E = P/(3ε0).