この中学入試問題の解法を教えてください。

この中学入試問題の解法を教えてください。


とある予備校の電車の社内広告に載っていた、ある中学の入試問題です。
解法を教えてください。

問題
下記のように黒点をすべて通る円がある。
小さな四角形は9個はそれぞれ一辺が３cmの正方形である。
円の面積を求めよ。

質問者からの注意点
図形の四角形が正方形に見えないのは私の描き方が下手くそなせいです。
実際の広告ではきちんと正方形に描いてあります。
問題文中、小さな四角形９個を連結した大きな四角形の中心と、円の中心が一致していることは保障されていません。
円は、大きな四角形に内接する円ではありません。（はみ出ています）もし内接する円だとしたら大きな四角形の一辺の長さ＝円の直径、がすぐ導かれ、とても簡単な問題になってしまいます。


私なりの解放
中段（あるいは上段、中段、下段の各真ん中）の小さな四角形を連結した長方形の対角線が円の直径であることを導くことができれば、円の直径はその長方形の対角線となる。その対角線は三平方の定理により、長辺と短辺から導くことができる。
しかし、私には長方形の対角線＝円の直径を導く方法がわからない。（図形の見た目では多分、直径に該当するように見えるのだが・・・）

さらには上記の方法で回答したとしても、三平方の定理は小学校では習得しないと思うので、採点時に何らかのマイナスになるような気がする。


というわけで、小学校の算数の習得レベルでの解法を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： edomin7777 回答日時： 2011/01/16 08:14

私もこの問題は聞いたことがあります。

が、中学入試の問題だとは思いませんでした。
聞いた話では「高校入試」という事でした。

なので、3平方の定理を使って答えを求めました。

答えは
22.5π平方センチメートルになります。

各円周上の点を上段左から時計回りにA,B,C,D,E,F,G,Hとした時に、⊿BEFを考えます。
⊿BEFは∠BEFが90°なので、円周角の定理から線分BFは円の直径です。
後は3平方の定理を用いて答えを求めました。

小学校レベルでは判りません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、円周上にある角が90度であることから、その線が伸びた先の円周上の2点を結ぶ線は円の直径となる、ことを利用すれば、正方形3個連結の長方形の対角線が円の直径である、ということを導けますね。
その法則をつかうのかあ。

よくわかりました。
この問題は高校入試問題なんですね。きっと私が広告文を読み間違えたのでしょう。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/16 09:29

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/01/16 08:39

　私も見ました。

円の半径（直径）を求めようとすると三平方が出てきますが、二乗を求めるのであれば三平方がいらなくなります。確か小さな正方形が一辺１ｃｍだったと思うのですが、縦１ｃｍ、横３ｃｍ（つまり小さな正方形3個分）の長方形の対角線を一辺とする正方形を書いてやります。するとこの一辺はちょうど円の直径と等しくなります。そして、その正方形の中に小さな正方形（１ｃｍ＊１ｃｍ）がいくつ入るか、置き換えで考えると判ります。正方形の面積が判ればそれは円の直径の二乗に等しいのであとはそれを４で割って円周率をかければ円の面積になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
勉強いたします。

お礼日時：2011/01/16 09:30

No.3 回答者： mariopapa2397 回答日時： 2011/01/16 11:14

図を参考に見ながら考えてください。

赤い線を２本引きました。（これが、円の直径になります。）
この２本を対角線とする正方形を描きます。（緑の線）
正方形の面積を升目から求めます。
周りの直角三角形「面積９」４つと
中央の正方形「面積９」に分けて求めますと
緑の正方形の面積は４５と分かります。
次に、円の面積は、（半径）×（半径）×３．１４　なので
（半径）×（半径）の部分を考えます。
緑の正方形の内部にできた三角形（ピンク色）の面積で
（半径）×（半径）が出ると思います。
すなわち、ピンクの三角形の面積は、正方形４５の４分の１で
４５/４、三角形の面積の公式に当てはめて、
（底辺）×（底辺）÷２＝４５/４　　より、（底辺）×（底辺）＝４５/２
よって、（半径）×（半径）＝４５/２　　と分かります。
円の面積は、　　２２．５×３．１４　　でどうでしょうか。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
よくわかりました。

お礼日時：2011/01/16 13:17

No.4 回答者： kazu_-T 回答日時： 2011/01/16 14:06

＞大きな四角形の中心と、円の中心が一致していることは保障されていません

と書かれていますが、誰が見ても明らかに中心は一致している(と思う)ので、これは一致している(＝証明はしない)ものとして以下に記述致します。

下の添付図をご参照下さい。

左の図は、赤線で真ん中の長方形の対角線(＝円の半径)および、その対角線を一辺とした正方形を補助線で書いたものです。

右の図は、分かり易さの為に円を消したものです。赤の正方形の面積と、黒の正方形(問題で与えられた全体の正方形)の面積を比べると、緑で塗っている部分は合同の三角形なので、これが足し引きされ、結局赤の正方形の面積は黒の正方形の面積より黄色で塗りつぶした部分だけ大きいことが分かります。

そして黄色の四角形四つは、辺の長さが1と2の二辺を基準とすれば、真ん中の3cm×3cmの四角形(水色の斜線部)にすっぽりとはまります。

従って赤の正方形の面積は3cm×3cmの四角形10個分と分かり90cm2です。

従って円の半径を一辺とする正方形の面積は90÷4＝22.5cm2です。正方形なので面積＝一辺の二乗なので、すなわち円の半径の二乗が22.5cm2です。よって円の面積は

22.5×3.14＝70.65cm2

以上です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/01/17 09:24

No.5 回答者： maccha_neko 回答日時： 2011/01/16 14:53

ちょっと、図の添付が苦手なので・・

円と正方形の交点を左上から右回りにA,B,C,D,E・・と割り振って、円の中心をXとして、
XCを一辺とする正方形を右上の領域に描きます。
で、各辺の部分に三角形ODEと合同な三角形を描きます。
AB、Xから辺ABに下ろした垂線と、XAで囲まれた三角形、その隣に・・という具合にすると、折り紙の花のような形ができて、真ん中に正方形が残ります。

図からすぐわかるとおり、各三角形は直角三角形で、辺の長さはそれぞれ3×（3/2)cmと(3/2)cm、正方形は3cmなので、XCを一辺とする正方形の面積は45/2cm^2になります。

あとはこれに円周率を掛けてやれば良いですね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/01/17 09:23