エルデスシュトラウスの予想が、証明出来ました。

Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。
4／Ｎの塊を、1／Ｘと1／Ｙと1／Ｚとの3つに分ける事自体は簡単です。Ｘ・Ｙ・Ｚが無理数でも良いのなら、適当に3分割すればよろしい。Ｎが如何なる2以上の自然数となっても、Ｘ・Ｙ・Ｚには、小数点以下の端数が付いてはならない点が、この予想の証明の難しいところです。
(1)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ）と(2)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）と(3)（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）との3つの塊を考えます。(1)は1／Ｎです。(2)は（1／Ｎ+1）です。(3)は（1／Ｎ（Ｎ+1））です。(1)(2)(3)とも全て、分子は1で、分母は自然数です。また、(2)+(3)＝（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）+（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）＝（1／Ｎ）×（Ｎ+1）／（Ｎ+1）＝1／Ｎとなります。故に(1)+(2)+(3)＝2／Ｎとなります。従って、2／Ｎ＝1／Ｎ+（1／Ｎ+1）+（1／Ｎ（Ｎ+1））（2／Ｎ公式と呼ぶ）は常に成立します。Ｎにさまざまな自然数を入れて見てください。この数式を基礎として、4／Ｎ＝1／Ｎ+（1／Ｎ+1）+（1／Ｎ（Ｎ+1））が成立することを証明出来るでしょうか。
Ｎが偶数の時、2／Ｎ公式にＮの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。例えばＮ＝22の場合、11を使います。2／11＝（1／11）+（1／12）+（1／（11×12））＝（1／11）+（1／12）+（1／122）＝24／122＝4／22となります。
Ｎが奇数の時、Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。Ｎ＝3ｎの時、(1)の式にはｎを使います。分母を1／3にする為、(1)の値は3倍になります。(2)+(3)の式にはＮを使いますので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝9の場合、（1／3）+（1／10）+（1／90）＝40／90＝4／9となります。
Ｎ＝3ｎ+2の時、(2)+(3)の式のＮ+1の値が3ｎ+2+1＝3（ｎ+1）と3の倍数になるので、(2)+(3)の式にＮ+1の替りに、ｎ+1を使います（分子のＮはそのままです）。分母を1／3にする為、(2)+(3)の値は3倍になります。(1)の式にはＮを使うので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝11のとき（1／11）+（1／4）+（1／44）＝16／44＝4／11となります。
次ぎに、Ｎ＝3ｎ+2でＮが奇数の時です。2／Ｎ公式では、(2)+(3)は1／Ｎです。分母にどの様な自然数を掛けても、分子は1なので、要件を満たします。つまり、(2)+(3)は、1／2Ｎ・1／3Ｎ・1／4Ｎ・1／5Ｎ・1／6Ｎ・1／7Ｎ・・・と自由に選択出来ます。Ｎに1を足して4の倍数になる場合、（Ｎ+1＝4ｎの時）(1)式中のＮの替りに倍数ｎを使います。(2)+(3)式の分母には、自由に自然数を掛けられるので、倍数ｎを掛けます。(2)+(3)＝1／Ｎｎ＝（1／2Ｎｎ）+（1／2Ｎｎ）とします。例えばＮ＝19の時、19+1＝20＝5×4なので倍数5を使います。（1／5）+（1／190）+（1／190）＝40／190＝4／19となります。
残ったのは、Ｎ＝3ｎ+2且つ、Ｎ＝4ｎ－3且つ、Ｎが奇数の時です。即ちＮ＝12ｎ+1の数列で、具体的には、13・25・37・49・61・85・97・109・・・です。
これらの数値（Ｒとする）は、2乗で表せます。13＝2×2+3×3、25＝3×3+4×4、37＝6×6+1×1、49＝7×7、61＝5×5+6×6、85＝9×9+2×2、97＝9×9+4×4、109＝10×10+3×3・・・等です。4／（Ｒの2乗）＝（2／Ｒ）の2乗なので、この場合も2／Ｎ公式により、予想は成立します。
従って、Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在すると言えます。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/20 12:23

「2／Ｎ公式」は、公式として適用したのではなく、

それを手本というか発想のもとにして、
似たような別の式を作っていったのですね。

計算が、式ではなく言葉で書いてあるのと、
場合分けが錯綜しているのとで、とても読みにくかった
のですが、各場合に例が挙げてあったので、
何とか読み通すことができました。例は大切ですね。

N = 2n のとき　4/N = 1/n + 1/(n+1) + 1/{n(n+1)}.
N = 3n のとき　4/N = 1/n + 1/(N+1) + 1{N(N+1)}.
N = 3n+2 のとき　4/N = 1/N + 1/(n+1) + 1/{N(n+1)}.
N = 4n-1のとき　4/N = 1/n + 1/(2Nn) + 1/(2Nn)

という計算は合っています。
よく見つけたなぁと素直に感心します。

「Ｎ＝3ｎ+2でＮが奇数の時」の段落は
何が書いてあるのかよく解りませんが、
N = 3n+2 の場合は直前の段落で済んでいるので、
ここは無視しても構わないでしょう。

で、最後の場合分けですが、
「残ったのは、Ｎ＝3ｎ+2且つ、Ｎ＝4ｎ－3且つ、Ｎが奇数の時」
というのには、ふたつのミスがあります。

「Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通り」なので、
本当に残ったのは、『Nが3の倍数+1 かつ 4の倍数ひく3 かつ 奇数』
の場合です。

また、3n+2 と 4n-3 の両方に同じ n を使っているのも間違いで、
例えば上記の『 』なら、『N = 3n+1 かつ N = 4m-3 かつ N = 2k+1』
と、別々の文字を使わなければ、全ての場合をカバーできません。

残りの『 』も、がんばって示してくださいね。

この回答へのお礼

適切なご指摘、大変ありがとうございます。

お礼日時：2011/02/22 00:40

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/02/21 11:04

とりあえず最後の「残ったのは」のところ, 「これらの数値（Ｒとする）は、2乗で表せます。

」はもっと厳密な表現が必要. たとえば 13 を 2×2+3×3 としているが, 1×1+1×1+...+1×1 とすればそんな変態な形にしなくてもいい.

あと, 本当にほしいのは 4/R であって 4/R^2 など (とりあえず) ど～でもいいのでは? まあ (2/R)^2 であっても「その場合どうなのか」を一切書かないあたりはまったくもってダメダメ.

この回答へのお礼

再考して投稿しました。http://qanda.rakuten.ne.jp/qa6541035.htmlをご参照下さい。今後ともよろしく。

お礼日時：2011/02/22 00:39

No.1 回答者： stokesia 回答日時： 2011/02/20 07:32

残念っ・・・