x^4-5x^3+5x^2+5x-6を因数分解

x^4-5x^3+5x^2+5x-6を因数分解してください！

よろしくお願いしますｍ（_ _）ｍ

解法もよろしくお願いします。

因みに、現在高１です！

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/08 23:30

f(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6　とします。

このf(x)の値が"0"になるxの値を調べます。
x=0で0になることはないので先ずx=1を入れてみましょう。
f(1)=1-5+5+5-6=0
0になりました。因数定理により、f(x)はx-1で割り切れますので実際に割ってみます。
出てきた3次式で同じ作業を行う。2次式になれば普通に因数分解できるでしょう。

No.2 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/06/09 00:10

ｘ　の一次の係数　”５”　　と　定数項　”６”　にピクっと反応すると、なんとなく　（ｘ－２）（ｘ－３）が因数になる様な気がしてきますので、この線でパズルを解く様に攻めてみてはいかがでしょう。

＝　ｘ＾４　－５ｘ＾３　＋　５ｘ＾２　－　（ｘ＾２　－５ｘ　＋６）　＋　ｘ＾２

後半部分は、ピクっときた（ｘ－２）（ｘ－３）を、無理やり引き出す為の変形ですが、このまま進めると…

＝　ｘ＾４　－５ｘ＾３　＋　６ｘ＾２　－　（ｘ＾２　－５ｘ　＋６）

…と、ここまでくればしめたもんですね。

＝　ｘ＾２（ｘ２　－５ｘ　＋６）　－　（ｘ＾２　－５ｘ　＋６）

＝　（ｘ＾２　－１）（ｘ　－２）（ｘ　－３）

＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－３）

ご参考に。

No.3 回答者： ma-cyan369 回答日時： 2011/06/09 00:52

難易度をいえば、標準レベルで簡単ではありません。

この種の因数分解は、「いかに共通な因数でくくるか」、「どうやって項を補うか」です。

解答案を示します。

Ｘ^4－５Ｘ^3＋５Ｘ^2＋５Ｘ－６＝(Ｘ^4－５Ｘ^3＋４Ｘ^2)＋(Ｘ^2＋５Ｘ－６)---途中結果(1)

途中結果(1)の「４Ｘ^2)＋(Ｘ^2」の部分は５Ｘ^2を分解(項を補うか)しました。
最初の括弧の中にあるＸ^2を外に出し、因数分解すると、途中結果(2)となります。

＝Ｘ^2(Ｘ^2－５Ｘ＋４)＋(Ｘ＋６)(Ｘ－１)＝Ｘ^2(Ｘ－１)(Ｘ－４)＋(Ｘ＋６)(Ｘ－１)---途中結果(2)

途中結果(2)より共通な因数をくくり出して、
＝(Ｘ－１){Ｘ^2(Ｘ－４)＋Ｘ＋６}＝(Ｘ－１)(Ｘ^3－４Ｘ^2＋Ｘ＋６）---途中結果(3)

途中結果(3)より後ろの括弧の中についても途中結果(1)を導いた方法を使うと、

Ｘ^3－４Ｘ^2＋Ｘ＋６＝Ｘ^3－４Ｘ^2＋４Ｘ－４Ｘ＋Ｘ＋６＝Ｘ(Ｘ^2－４Ｘ＋４)ー３Ｘ＋６
※（４Ｘ－４Ｘ＝０です）
＝Ｘ(Ｘ－２)^2－３(Ｘ－２)＝(Ｘ－２)(Ｘ(Ｘ－２)－３)＝(Ｘ－２)(Ｘ^2－２Ｘ－３)

＝(Ｘ－２)(Ｘ－３)(Ｘ＋１)---途中結果(4)

よって、途中結果(3)、(4)より(Ｘ－１)(Ｘ－２)(Ｘ－３)(Ｘ＋１)です。

なお、途中結果という単語はあまりテスト等で使わないで下さい。(1)、(2)、(3)を使用して下さい。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/09 03:16

x^4-5x^3+5x^2+5x-6=f(x)とおく。

x=1とおくとf(x)=0となるので因数(x-1)を持つことがわかる（因数定理)。
したがって、与式を因数(x-1)が括り出せるように項の順序を入れ替えて
f(x)=(x^4+5x-6)+(-5x^3+5x^2) ←項の順序入れかえ
={(x^4-x^3)+(x^3-x^2)+(x^2-x)+(6x-6)}-5x^2(x-1)
={x^3(x-1))+x^2(x-1)+x(x-1)+6(x-1)}-5x^2(x-1) ←共通因数(x-1)を括りだす
　　=(x-1)(x^3+x^2+x+6-5x^2)
=(x-1)(x^3-4x^2+x+6)
第2括弧でx=-1とおくと第2括弧=0となるので第2括弧は因数(x+1)を持つことが分かる。
(x+1)が括り出せる様に第2括弧内の式を変形する。
f(x)=(x-1){(x^3+x^2)+(-5x^2-5x)+(6x+6)}
=(x-1){x^2(x+1)-5x(x+1)+6(x+1)} ←(x+1)を括り出せる
　　=(x-1)(x+1)(x^2-5x+6)
第3括弧でx=2とおくと第3括弧=0となるので第3括弧は因数(x-2)を持つことが分かる。
(x-2)が括り出せる様に第3括弧内の式を変形する。(第3括弧はたすき掛け法でも
因数分解可能だがあえて上と同じ因数定理を利用して解いてみることとする)
f(x)=(x-1)(x+1){(x^2-2x)+(-3x+6)}
=(x-1)(x+1){x(x-2)-3(x-2)} ←共通因数(x-2)を括りだす
　　=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)
これで因数分解完了だが、仮に、式の途中の説明を省略しても、式の変形だけで
因数分解したことになる。

[重要]因数定理を使いこなす。たとえ因数定理を解答の上では書かなくても因数定理
による考え方は重要です。試行するxの候補は
f(x)の定数項をxの最高次の係数で割った数（有理数）を素因数分解した因数に±の
符号を付けたものが因数候補となります。
今の問題で言うと
定数項=6、最高次の係数=1なので
6/1=6=1・2・3
となり、因数候補は±1,±2,±3となります。
これらの全部を使う必要はありません。簡単な候補から幾つかf(x)に代入・試行
すれば因数分解できてしまいます。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/06/09 10:37

因数分解は、常に係数に注意する事。

x^4-5x^3+5x^2+5x-6＝x^4-5x^3+5x^2+5x-5-1＝(x＾4-1)-5(x＾3-x＾2)＋5(x-1)＝(x-1)*(x+1)*(x＾2+1)－5x＾2*(x-1)＋5(x-1)＝ここまで来れば、続きは　自力でできるだろう。

No.6 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/06/09 10:40

この問題が、「因数定理を利用すると、高次式の因数分解もできますよ」ということを習った直後の演習問題であれば、因数定理を利用した因数分解の方法を身に付けてほしいが故の出題だと思うので、もし他の解き方が思い浮かんでも、因数定理を利用して因数分解すべきですね。

そうじゃなくて、入学試験や模擬試験だった場合は、思いついた方法で解いても良いと思います。

x^4-5x^3+5x^2+5x-6
=x^4-5x^3+6x^2-x^2+5x-6
=x^2(x^2-5x+6)-(x^2-5x+6)
=(x^2-1)(x^2-5x+5)
・・・これなんか、お見事ですよね。

偶数次と奇数次に分けてみると、何とかなることも多いです。
x^4-5x^3+5x^2+5x-6
=x^4+5x^2-6-5x^3+5x
=(x^2+6)(x^2-1)-5x(x^2-1)
=(x^2-5x+5)(x^2-1)

いろんな解き方があって、どの方法も正解です。