半減期と放射能の関係

ある放射性核種1gは、何Bqの放射能を持つかを知りたいのです
(更に言いますとニュースでよく聞く「1kgあたり○Bq」を「1kgあたり○g」に直したいのです)。
そこで、次のように求めてみたのですが、合ってますでしょうか?

Wikipediaの「ベクレル」での計算式は意味不明なんですが…。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF% …
同じく「セシウム137」の半減期と放射能では一応計算は合います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BB%E3%82%B7% …

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/06/19 22:32

質問文の

> (更に言いますとニュースでよく聞く「1kgあたり○Bq」を「1kgあたり○g」に直したいのです)。

というところがよくわからなかったのですが，とりあえず，「混じりっけなしの（無担体の）放射性核種1 gあたりの放射能」すなわち「無担体放射性核種の比放射能[Bq/g]」を求めたいんですよね．

半減期Tの放射性核種の原子数がN個であるとき，その放射能Qは次のように表されます：
Q = λN = N(ln 2)/T. (lnは自然対数)

一方，原子数がN個のときの質量m [g]は
m = M N/Na. (Naはアヴォガドロ定数，Mはこの放射性核種の原子量)

したがって，比放射能は

S = Q/m = Na(ln 2)/(M T).

なお，この式は，任意の時刻tにおいて成り立ちます．
すなわち，無担体放射性核種の比放射能は原子量と半減期で決まりますので，時刻tに依らないのです．

結果は質問者様のものと一致しますが，質問者様の解答の途中にある
「N = (Na/M) 2^(-t/T)より」というのはおかしいと思います．というのは，
N = (Na/M) 2^(-t/T)
の左辺が原子数（単位なし）であるのに対し，右辺はの単位は[g^(-1)]になりますので．

この回答への補足

回答ありがとうございます。

Qの式の根拠を教えていただけないでしょうか。
半減期の定義式から求められると思うのですが。

>の左辺が原子数（単位なし）であるのに対し，右辺はの単位は[g^(-1)]になりますので．
左辺は1gがN個ですから、左辺も(/g)になると思います。

補足日時：2011/06/19 22:43

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/20 01:16

Ｎｏ．４の sanori です。

コメントを足します。

実は昨夜、ほかの質問者さんにも似た回答をしたのですが、
「崩壊系列」ないしは「放射平衡」というものがあります。

たとえばウラン２３８の半減期は４５億年ですが、その１４代下の安定な子孫である鉛２０６に至るまでの個々の子孫の半減期は、先祖であるウラン２３８の半減期に対して著しく短いです。
系列の中には崩壊をする子孫が実質１３種類あるので、先祖のウラン２３８と合わせると合計１４発出ます。
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/ …

つまり、ウラン２３８がある線源からでる放射線の数は、ウラン２３８単独のアルファ線の数の１４倍となります。

放射平衡にある崩壊系列では、祖先および子孫の各原子数と各半減期との間に比例関係が成り立つため、
各々の子孫を化学的に定量することは極めて困難です。
ですので、放射平衡にある系列では、祖先の原子数に理論的な整数（上記の例では１４）を掛け算しないと現実の放射能になりません。

この回答への補足

補足回答ありがとうございます。

崩壊後の放射能も考慮に入れないといけないということですね。
ありがとうございました。

補足日時：2011/06/20 05:11

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/19 23:52

sak_sakさん、こんにちは。

＞＞＞合ってますでしょうか?

合っていますよ。

その計算をするまえに、もともと、そもそも
放射能　＝　－ｄＮ／ｄｔ　＝　λＮ
です。
この式は、「放射能（単位時間に崩壊する原子の個数）は原子の個数に比例します。」という意味の、当たり前の式です。
λは、１個１秒当たりに崩壊する確率であり、平均寿命の逆数でもあります。

－ｄＮ／ｄｔ　＝　λＮ
を解くと、
ｄＮ／ｄＮ　＝　－λｄｔ
∫ｄＮ／ｄＮ　＝　－λ∫ｄｔ
logＮ　＝　－λｔ　＋　Ｃ
log[2]Ｎ／log[2]ｅ　＝　－λｔ　＋　Ｃ
log２・log[2]Ｎ　＝　－λｔ　＋　Ｃ

測定時刻＝ｔ＝０　のとき、　Ｎ＝Ｎo　と置くと、
log２・log[2]Ｎo　＝　Ｃ
なので、
log２・log[2]Ｎ　＝　－λｔ　＋　log２・log[2]Ｎo
log[2]Ｎ　－　log[2]Ｎo　＝　－λｔ／log２
log[2]（Ｎ／Ｎo）　＝　－（λ／log２）ｔ
Ｎ／Ｎo　＝　２^(-(λ/log2)t)
　＝　２^(-t/((log2)/λ))

というわけで、半減期Ｔは、Ｔ＝（log２）／λ　です。

測定時間が半減期より十分短いときは、
放射能　＝　λＮo　＝　（log２）／Ｔ
なので、

１モル当たりの放射能　＝　（log２）／Ｔ　×　アボガドロ数

１グラム当たりの放射能　＝　１モル当たりの放射能　÷　原子量
　＝　log２／Ｔ　×　アボガドロ数　÷　原子量
　＝　ＮA／Ｍ・log２／Ｔ

１キログラム当たりの放射能　＝　１グラム当たりの放射能　×　１０００
　＝　1000　×　ＮA／Ｍ・log２／Ｔ

となります。

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/06/19 22:56

> 左辺は1gがN個ですから、左辺も(/g)になると思います。

ああ，なるほど，初めから1 gの原子数を考えているのですね．
納得です．

> Qの式の根拠を教えていただけないでしょうか。
> 半減期の定義式から求められると思うのですが。

私は，任意の時刻tにおける，着目している放射性核種の原子集団の原子数をNとし，その質量をmとしていますので，この場合，

N = N0 (1/2)^(t/T) = N0 2^(-t/T)

ですが，指数関数の底をeに変換しますと

2^(-t/T) = e^{(ln 2)×(-t/T)} = e^(-t (ln 2)/T)

ですから，

λ = (ln 2)/T

と置くと（これが壊変定数），

N = N0 e^(-λ t)

となります．

放射能Qとは，単位時間当たりに壊変する原子数のことですから

Q = -dN/dt = λ N0 e^(-λ t) = λ N.

放射能自体は時刻によって変化（指数関数的に減衰）しますが，上の式自体はどんな時刻でも成り立ちます．

No.2 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/06/19 22:34

ANo.1です．

すみません，書き忘れましたが，
λは壊変定数と呼ばれ

λ = (ln 2)/T

です．