リーマン予想が証明されるとどうなるか

1.「リーマン予想が証明されると、ある数までの素数の個数が計算できるようになる」という理解で正しいでしょうか？

2. 1.が正しいとすれば、ある数(=n)が素数かどうかが「nとnー1について計算して個数が増えていればnは素数である」という方法で容易に判定できるようになる、という理解で正しいでしょうか？

3. 2.が正しいとすれば、現在のところ何兆個の零点を調べても反例が見つからないのなら、とりあえずリーマン予想は正しいとして使ってしまえば(何に使えるのか私は知りませんが)良いのではないでしょうか？そして、もし不都合が出てきたらそれを反例の発見とすれば良いのではないのでしょうか？ それとも、リーマン予想自体特に使い道はないのでしょうか？(ここでいう使い道とは、実社会での使い道という意味です)

念のため補足しますが、上の疑問は決して「リーマン予想の解決という数学者達の試みに意味がない」ということではありません。リーマン予想の真偽が数学的に解明されることは、それはそれで素晴らしいことだと思います。

以上、どなたか詳しいかた教えてください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/04 15:23

リーマン予想の系は、x 以下の素数の個数 π(x) の

漸近評価(x が大きいとき、π(x) がどの程度
大きいか。その、不等式による評価)
を与えるだけで、π(x) の値そのものを
明らかにする訳ではないです。
π(x)-π(x-1) なんて、計算できませんよ。

この回答へのお礼

ありがとうございました。そもそも、1が間違っていたのですね。

お礼日時：2011/08/04 22:14

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/08/04 15:27

リーマン予想に依存しない素数判定アルゴリズムで、

リーマン予想依存のアルゴリズムより早いものがあります。
＃ミラーラビンとか．．．

この回答へのお礼

どうやら、リーマン予想自体は素数判定にならないようでした。有難うございました。

お礼日時：2011/08/04 22:18

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/08/04 14:09

2 あるいは 3 に関連すると思うのですが, どのような意味で「容易に判定できる」と書かれているのでしょうか?

実際問題, リーマン予想には関係なく「任意の整数 n が素数かどうかは『容易に判定できる』」ということが知られていますよね.

この回答へのお礼

早速ありがとうございました。どうやら1が間違っていたようなので、2は成立しませんね。

お礼日時：2011/08/04 22:13