A 回答 (9件)
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No.9
- 回答日時:
ちょっと修正を…
Pが奇素数でX>=YがPの倍数でないとする
X^P+Y^P=(X+Y)(X^(P-1)-X^(P-2)Y....+Y^(P-1))
なのでX+YがPの倍数ですが
一方でX+Y=P^kのとき
X^P+(P^k-X)^P=(P^k)^P-PC1(P^k)^(P-2)X+....-PC(P-1)P^kX^(P-1)
よりX^P+Y^P<=P^(k+1)(上式の最後の項以外はP^(2k+1)で割り切れるが、最後の項はP^(k+1)でしか割れないため)
よってX+Y=P^kだったからX^(P-1)-X^(P-2)Y+...+Y^(P-1)=1,P…(1)ですがこれは
=(X-Y)(X^(P-2)+X^(P-4)Y^2+...+XY^(P-3))+Y^(P-1)と変形でき
(1)がPのとき
X>=YならYはY^(P-1)<=P
Y!=1ならばf(Y,P)=Y^(P-1)-PはY,Pで単調増加だがY=2,P=3でも4-3>0、
よってY=1だがP>=5では
(X^(P-1)-X^(P-2)+X^(P-3)-....+1)=P
(X-1)(X^(P-2)+X^(P-4)+....+X)=P-1
F(X,P)=X^(P-2)+X^(P-4)+....+XはX>=2ならF(X,P)>=2^(P-2)>P-1で
X,Pで単調増加であるから0にはならない
P=3、Y=1は
X^2-X+1=3よりX=2,-1これは(3^n)^3+(2*3^n)^3=3^(3n+2)
No.8
- 回答日時:
Pが奇素数でX>=YがPの倍数でないとする
X^P+Y^P=(X+Y)(X^(P-1)-X^(P-2)Y....+Y^(P-1))
なのでX+YがPの倍数ですが
一方でX+Y=P^kのとき
X^P+(P^k-X)^P=(P^k)^P-PC1(P^k)^(P-2)X+....-PC(P-1)P^kX^(P-1)
よりX^P+Y^P<=P^(k+1)(上式の最後の項以外はP^(2k+1)で割り切れるが、最後の項はP^(k+1)でしか割れないため)
よってX+Y=P^kだったからX^(P-1)-X^(P-2)Y+...+Y^(P-1)=1,P…(1)ですがこれは
=(X-Y)(X^(P-2)+X^(P-4)Y^2+...+XY^(P-3))+Y^(P-1)と変形でき
(1)がPのとき
X>=YならYはY^(P-1)<=P
f(Y,P)=Y^(P-1)-PはY,Pで単調増加だがY=2,P=3でも4-3>0したがって
P<=3,Y=1もしくはP=2,Y=1
P=3、Y=1は
X^2-X+1=3よりX=2,-1これは(3^n)^3+(2*3^n)^3=3^(3n+2)
P=2の場合は(2^n)^2+(2^n)^2=2^(2n+1)
(1)は1やはり
=(X-Y)(X^(P-2)+X^(P-4)Y^2+...+XY^(P-3))+Y^(P-1)からX=Y=1でなければならない
→(2^n)^2+(2^n)^2=2^(2n+1)
No.7
- 回答日時:
そうか。
あるPについて(X,Y,z=)(a,b,c)で成り立つとすると(X,Y,z)=(a*P^n,b+P^n,c+nP)でも成り立つんだ。気づかなかった。
(a*P^n)^P+(b*P^n)^P=a^P*P^(Pn)+b^P*P^(Pn)=(a^P+b^P)*P^(Pn)=P^c*P^(Pn)=P^(c+nP)
あとは、
・一つのPについて独立な(a,b,c)の組み合わせの個数が何個あるか。
ということになりますね。P=2の場合は1個しかないことは証明しましたのでP≧3で何個あるのでしょうか。
No.5
- 回答日時:
#4のものです。
P=2の場合、#4にあげたもの以外に解が無いことの証明を下に示します。
X~2+Y^2=2^z
X,Yが両方とも奇数または両方ともに偶数であるかのいずれか。
X,Yが両方とも奇数
X=2n+1,Y=2m+1 (n.mは0以上の整数)とおくと
X^2+Y^2=2{2(n^2+m^2+2n+2m)+1}=2^z
{}の中は奇数となるが、右辺の約数に奇数は"1"しかないため、{}=1、つまりn=m=0しかない。
X=Y=1,z=1,P=2のみが題意を満たす
X,Yが両方とも偶数
X=2n.Y=2m(n.mは自然数)とおくと
X^2+Y^2=4n^2+4m^3=4(n^2+m^2)=2^z
z≧3は明らかなのでz=k+2とおくと
n^2+m^2=2^k
つまり、X,Y,z,2が解のとき、X/2,Y/2,Z-2,2も解であることがわかる。
X/2.Y/2がともに奇数であるときは上にあるようにX/2=Y/2=1,k=1しかありえない。
X/2.Y/2がともに偶数であるときは、同様にX/4,Y/4,z-4も解となる。
これを繰り返すとX/2^h,Y/2^h,z-2h,2が解であることが示されるが、あるところでX/2^hは奇数となってしまう。その奇数は"1"でなければならない。
つまり、X=Y=1*2^h=2^h,z=2h+1,P=2が解となる。
P=2の場合、(X,Y,z)=(2^n,2^n.2n+1) (n≧0の整数)
P≧3の場合は証明していない。
P≧3の場合、Pは奇数であるから
X^P+Y^P=(X+P)Σ[k:0~P-1](-1)^k*X^k*Y^(P-k-1)
と因数分解できるので、X+YはX^P+Y^Pの約数である。
X+YがP^zの約数であるので
X+Y=P^n
の形になる。これを利用して何か関係式が導けるかもしれない。
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