２００２年 京都大学の問題（数学）

４個の整数1,a,b,cは1<a<b<cを満たしている。
これらの中から相違なる２個を取り出して和を作ると、
1+aからb+cまでのすべての整数の値が得られるという。
a,b,cの値を求めよ。

解答））　1+aからb+cまでの整数値は次の３通り
　　　　　i）1+a>1+b<1+c<a+b<a+c<b+c
ii)1+a<1+b<a+b<1+c<a+c<b+c
iii)1+a<1+b<a+b=1+c<a+c<b+c

=========下記を(1)とする==========


ここで、i)のとき1+b=1+a+1,1+c=1+b+1,a+b=c+1+1 ゆえに(a,b,c)=(3,4,5)
　　　　ii)のとき1+b=1+a+1,a+b=1+b+1,1+c=a+b+1 ゆえに（a,b,c)=(2,3,5)
iii)のとき1+b=1+a+1,a+b=1+b+1,a+b=1+c ゆえに(a,b,c)=(2,3,4)　と答えが出るのですが


(1)からの1+a=1+b+1などいろんな計算式が書いてあるのですがなぜ１を足したり
なぜこういう風な式に至ったのかがわかりません・・・・・。
お願いします。教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/10/07 20:18

こんばんわ。

まず、1と aと bと cでできる 6つの数は、質問にも書かれているとおりです。
そして、明らかにわかる大小関係を書いてみると
(1式) 1+a＜ 1+b＜ 1+c
(2式) a+b＜ a+c＜ b+c

となり、1+aが最小の数、b+cが最大の数となることもわかります。
すると、1+b、1+c、a+b、a+cの大小関係が鍵になってきます。

単純に、(1式)＜(2式)（こんな書き方は正しくありませんが）という関係を考えれば
質問の i）が得られます。

あとは、真ん中の数の「入れ替え」を考えていきます。
(1式)の真ん中の数を入れ替えると、ii）になります。

気付きにくいですが、真ん中の数同士が等しいという場合も考えることができます。
（問題では、1+aから b+cまでのすべての整数の値の個数までは指定されていないので）


次に、さらに入れ替えてみると
1+a＜ a+b＜ 1+b＜ 1+c＜ a+c＜ b+c

という式を考えることになりますが、2つ目と 3つ目の大小関係は成り立ちません。
同じように、
1+a＜ 1+b＜ a+b＜ a+c＜ 1+c＜ b+c

なども考えていくと、同様に成り立たないことがわかります。



そして、「1+aから b+cまでのすべての整数の値」とは
単純に「1+aから b+cまでの連続した整数」が並ぶことを意味しています。
ですので、不等式のとなりあった数は 1ずつ異なっているはずということになります。


きちんと並べる数を書きだして、焦らずじっくりとやればできると思いますよ。＾＾

この回答へのお礼

ご丁寧な説明ありがとうございます！
きちんと一個一個確かめていったら確かになりました！
＋1もどういうことかもわかりました！
ありがとうございます！

お礼日時：2011/10/12 00:23

No.4 回答者： OOKIII 回答日時： 2011/10/08 08:17

ためしに、1,2,3,4は3～7でOK

連続した整数になる（1+aからb+cまでのすべての整数）が
直感的に１～１０ぐらいの話と感じられます。

対戦表のようなものを書く
　 1 a b c
1 1+a 1+b 1+c
a a+b a+c
b b+c
c

この図から、右隅の1+b,1+c,a+b,a+cの大きさの順番で、ケースが別れてくるのがわかる

足しているのではなく、並べている

1+a<1+b<1+c <a+b<a+c <b+c

と、考えてみてください。
（パターンでか覚えて、自分で解く力がない人は、解けないと思います）

この回答へのお礼

対戦表みたくわかりやすく書き並べみるとわかりやすいですね！
どうもありがとうございました！

お礼日時：2011/10/12 00:17

No.3 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/10/07 20:19

1<a<b<cで確定している大小関係は

1+a<1+b<1+c<a+c<b+c
1+a<1+b<a+b<a+c<b+c
です
1+cとa+bの大小関係だけ確定していません

全ての整数の値が1+a...b+cで表せるという条件では、その間では１づつ増加しないと、
間に1,a,b,cの２個の和で書けない整数があることになります

この回答へのお礼

なるほど・・・・・！確かに＋1しないと次の数字と一緒になってしまいますね！
ありがとうございました！

お礼日時：2011/10/12 00:18

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2011/10/07 20:17

・・・1+aからb+cまでの「すべての整数の値」が得られる・・・

なので、例えば、

＞ii)1+a<1+b<a+b<1+c<a+c<b+c

の場合は、１＋ｂは１＋ａより１多い。だから１＋ｂ＝（１＋ａ）＋１
　　　　　ａ＋ｂは１＋ｂより１多い。だからａ＋ｂ＝（１＋ｂ）＋１

以下同様となります。（カッコは分かりやすくするために補った。）

この回答へのお礼

1+aからb+cまでの「すべての整数の値」が得られるというのは
ただ単に違う数字がでてくるということだから＋1して違う数字にする
ということだったんですね！
わかりやすくてとても参考になりました！

お礼日時：2011/10/12 00:29