ベクトルを教えて下さい。

ＯＡ＝√２，ＯＢ＝１である△ＯＡＢがあり、線分ＡＢを３：２に内分する点をＣとする。また、↑ＯＡ＝↑ａ，↑ＯＢ＝↑ｂとおく。


（１）↑ＡＢを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。また、↑ＯＣを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。
（２）ＯＣ⊥ＡＢのとき、内績↑ａ・↑ｂの値を求めよ。また、このとき｜↑ＯＣ｜、｜↑ＡＢ｜を求めよ。
（３）（２）のとき、辺ＡＢを一辺とする正方形ＡＤＥＢを直線ＡＢに関して点Ｏの反対側につくる。線分ＢＥを２：１に内分する点をＦとし、直線ＯＤと直線ＡＦの交点をＰとする。このとき、↑ＯＦを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。また、↑ＯＰを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。


解答を導く手順と解答を教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/21 17:05

ＯＡ＝√２，ＯＢ＝１である△ＯＡＢがあり、線分ＡＢを３：２に内分する点をＣとする。

また、↑ＯＡ＝↑ａ，↑ＯＢ＝↑ｂとおく。


（１）↑ＡＢを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。また、↑ＯＣを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。
（２）ＯＣ⊥ＡＢのとき、内績↑ａ・↑ｂの値を求めよ。また、このとき｜↑ＯＣ｜、｜↑ＡＢ｜を求めよ。
（３）（２）のとき、辺ＡＢを一辺とする正方形ＡＤＥＢを直線ＡＢに関して点Ｏの反対側につくる。線分ＢＥを２：１に内分する点をＦとし、直線ＯＤと直線ＡＦの交点をＰとする。このとき、↑ＯＦを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。また、↑ＯＰを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。

｜ａ｜＝√２，｜ｂ｜＝１とする
（１）
ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝ｂ－ａ
ＯＣ＝(2/5)ＯＡ+(3/5)ＯＢ
　　＝(2/5)ａ+(3/5)ｂ

（２）
（ＯＣ，ＡＢ）＝（(2/5)ａ+(3/5)ｂ）・（ｂ－ａ）
　　　　　　　＝－2/5｜ａ｜^2－(1/5)（ａ，ｂ）＋(3/5)｜ｂ｜^2
　　　　　　　＝－1/5－(1/5))（ａ，ｂ）
　　　　　　　＝０より、　　　　　　　　　　（ａ，ｂ）＝－１

｜ＯＣ｜^2＝（(2/5)ａ+(3/5)ｂ）・（(2/5)ａ+(3/5)ｂ）
　　　　　＝(4/25)｜ａ｜^2＋(12/25)（ａ，ｂ）＋(9/25)｜ｂ｜^2
　　　　　＝5/25＝１／５　　　　よって、｜ＯＣ｜＝ルート５／５　……（１）

｜ＡＢ｜^2＝（ｂ－ａ）・（ｂ－ａ）
　　　　　＝｜ｂ｜^2－２（ａ，ｂ）＋｜ａ｜^2
　　　　　＝５　　　　　　　　　よって、｜ＡＢ｜＝ルート５
（３）
辺ＡＢを一辺とする正方形ＡＤＥＢだから、｜ＡＤ｜＝｜ＡＢ｜＝ルート５
ＯＣはＡＢに、ＡＤはＤＥに垂直で、ＡＢとＤＥは平行だから、ＯＣとＡＤは平行
よって（１）より、
ＡＤ＝５ＯＣ
　　＝５（(2/5)ａ+(3/5)ｂ）
　　＝２ａ＋３ｂ

ＡＥ＝ＡＢ＋ＡＤ
　　＝（ｂ－ａ）＋（２ａ＋３ｂ）
　　＝ａ＋４ｂ

ＡＦ＝(1/3)ＡＢ＋(2/3)ＡＥ
　　＝(1/3)８ｂ－ａ）＋(2/3)（ａ＋４ｂ）
　　＝(1/3)ａ＋３ｂ

ＡＦ＝ＯＦ－ＯＡより、よって、
ＯＦ＝ＡＦ＋ＯＡ
　　＝（(1/3)ａ＋３ｂ）＋ａ
　　＝(4/3)ａ＋３ｂ　……答え

ＡＤ＝ＯＤ－ＯＡより、
ＯＤ＝ＡＤ＋ＯＡ　
　　＝２ａ＋３ｂ＋ａ
　　＝３ａ＋３ｂ

Ｏ，Ｐ，Ｄは、一直線上にあるから、ＯＰ＝ｋＯＣとおくと、
ＯＰ＝ｋ（３ａ＋３ｂ）
　　＝３ｋａ＋３ｋｂ　……（２）

Ａ，Ｐ，Ｆは一直線上にあるから、ＡＰ＝ｌＡＦとおくと、
ＯＰ－ＯＡ＝ｌＡＦより、
ＯＰ＝ｌＡＦ＋ＯＡ
　　＝ｌ（(1/3)ａ＋３ｂ）＋ａ
　　＝｛（１/3)ｌ＋１｝ａ＋３ｌｂ……（３）

（２），（３）より、
３ｋ＝（１/3)ｌ＋１と３ｋ＝３ｌを連立方程式にして解くと、
ｋ＝ｌ＝３／８

（２）へ代入して、ＯＰ＝(9/8)ａ＋(9/8)ｂ……答え













ａｄ

No.1 回答者： Charlie24 回答日時： 2011/12/21 14:03

投げっぱなしはやめようよ。

（１）の”↑ＡＢを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。”も分かりませんか？